Definitionsmenge Zielmenge und Bildmenge

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge enthält die für eine Funktion festgelegten Eingaben. Die Zuordnung muss für jedes ihrer Elemente definiert sein. Ohne weitere Vorgabe suchen wir meist die größte reelle Definitionsmenge: Nenner dürfen nicht null sein, und Wurzeln gerader Ordnung benötigen nicht negative Radikanden.

Die Definitionsmenge darf auch bewusst eingeschränkt werden. Zum Beispiel ist die Regel $x^2$ für alle reellen Zahlen definiert, eine Funktion kann aber nur für $x\ge0$ festgelegt werden.

Beispiel zur Definitionsmenge

Diese Funktion teilt durch die eingesetzte Zahl, und eine Division ist nur definiert, wenn der Nenner nicht null ist:

Sie teilt $1$ durch die eingesetzte Zahl. Bei der Eingabe $0$ wird der Nenner null:

Durch Null darf nicht dividiert werden. Deshalb gehört die Zahl $0$ nicht zur Definitionsmenge dieser Funktion. Alle anderen reellen Zahlen sind zulässig.

Die Definitionsmenge von $f(x) = \frac{1}{x}$ umfasst daher alle reellen Zahlen außer $0$.

Ein zweites Beispiel ist

Hier wird die Quadratwurzel der Eingabe gebildet. Für $-4$ ergäbe sich

Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur $0$ und positive Zahlen.

Die Definitionsmenge von $g(x) = \sqrt{x}$ besteht also aus allen reellen Zahlen größer oder gleich $0$, das heißt mit $x \ge 0$.

Zielmenge

Die Zielmenge wird bei der Definition einer Funktion festgelegt. Sie enthält die Werte, in denen die Ausgaben der Funktion liegen sollen.

Als Beispiel definieren wir $f(x) = 2x$.

Als Definitionsmenge wählen wir die natürlichen Zahlen:

Dann legen wir als Zielmenge die ganzen Zahlen fest:

Mit den ganzen Zahlen als Zielmenge legen wir fest, in welcher Menge die Werte von $f(x)=2x$ liegen. Für natürliche Eingaben entstehen tatsächlich nur positive gerade Zahlen. Genau diese Werte bilden die Bildmenge:

Die gewählte Zielmenge ist gültig, weil alle tatsächlich entstehenden Werte der Bildmenge in den ganzen Zahlen enthalten sind.

Die Zielmenge beschreibt also den vorgesehenen Ausgaberaum. Nicht jeder ihrer Werte muss von der Funktion tatsächlich erreicht werden.

Bildmenge

Die Bildmenge enthält alle Ausgaben, die aus den Elementen der Definitionsmenge tatsächlich entstehen. Sie ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Beispiel:

Für dieses Beispiel sind Definitionsmenge und Zielmenge von $f(x) = x^2$ die ganzen Zahlen.

Setzen wir einige Werte aus der Definitionsmenge ein:

Tatsächlich entstehen $0, 1, 4, 9, 16$ und weitere nicht negative Quadratzahlen.

Die Bildmenge dieser Funktion ist daher

Die Bildmenge $\{0, 1, 4, 9, ...\}$ ist eine echte Teilmenge der gewählten Zielmenge der ganzen Zahlen:

Nicht jedes Element der Zielmenge gehört zur Bildmenge.

Aufgaben von Definitionsmenge Zielmenge und Bildmenge

Die Definitionsmenge schließt ungültige Eingaben wie eine Division durch null aus. Die Zielmenge legt den Ausgaberaum fest, und die Bildmenge zeigt, welche Werte darin tatsächlich erreicht werden.

Beschränken wir das Quadratbeispiel auf $D=\{-2,-1,0,1,2\}$ und wählen $K=\{0,1,2,3,4\}$. Von jeder Eingabe geht ein Pfeil aus, aber manche Elemente der Zielmenge werden nicht erreicht.

Die Pfeile erreichen $0,1,4$, also gilt $R=\{0,1,4\}$. Die Werte $2$ und $3$ bleiben in der Zielmenge, gehören jedoch nicht zur Bildmenge dieses eingeschränkten Beispiels.

Mathematische Beziehung

Mathematisch ordnet eine Funktion $f$ jedem Element der Definitionsmenge $D$ genau ein Element der Zielmenge $K$ zu:

Die Bildmenge $R$ enthält alle tatsächlich entstehenden Werte $f(x)$ für $x$ aus der Definitionsmenge:

Damit ist die Bildmenge stets eine Teilmenge der Zielmenge:

Jeder tatsächlich erreichte Funktionswert muss also in der Zielmenge liegen. Umgekehrt muss jedoch nicht jeder Wert der Zielmenge von der Funktion erreicht werden.

Überprüfe dein Verständnis

Es sei $h:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$ mit $h(x)=\frac1{x-2}$. Beantworte die drei Fragen unten zu dieser Funktion. Beginne bei dem Wert, den der Nenner verbietet, und prüfe dann, welche Ausgabewerte der Bruch erreichen kann.

1. Warum ist $2$ aus der Definitionsmenge ausgeschlossen?
2. Kann $0$ zur Bildmenge gehören?
3. Gib die Bildmenge von $h$ an.

Ausführliche Lösungen

1. Für $x=2$ wird der Nenner null:

   $$2-2=0$$

   Der Ausdruck ist nicht definiert. Daher kann $2$ nicht zur Definitionsmenge gehören.

2. Nein. Ein Bruch mit dem Zähler $1$ kann nicht den Wert $0$ annehmen.

3. Jeder von null verschiedene reelle Wert wird erreicht. Für $y\neq0$ wählen wir $x=2+\frac1y$ und erhalten $h(x)=y$. Somit gilt:

   $$R_h=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$