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Funktionskomposition

Funktionskomposition

Funktionen nacheinander anwenden

Ein Geschäft wendet denselben Rabatt und denselben festen Preisnachlass in zwei verschiedenen Reihenfolgen an:

$Aktion A$ : Rabatt, dann ein weiterer Abzug von .

20\%

\text{Rp}25{.}000{,}00

Aktion B

: Preisnachlass von

\text{Rp}25{.}000{,}00

, dann ein Rabatt von

20\%

.

Führen beide Aktionen zum gleichen Endpreis? Dazu schreiben wir beide Rechenschritte als Funktionen und verknüpfen sie in der jeweils angegebenen Reihenfolge.

Definition der Funktionszusammensetzung

Unter Funktionskomposition versteht man $die sequentielle Kombination von zwei oder mehr Funktionen$ , um eine neue Funktion zu erzeugen.

Für Funktionen $g: A \to B$ und $f: B \to C$ ist ihre Zusammensetzung $(f \circ g)(x)$ eine neue Funktion von der Definitionsmenge $A$ in die Zielmenge $C$ .

Das bedeutet, dass wir zuerst die Funktion $g$ anwenden und dann ihr Ergebnis in die Funktion $f$ eingeben.

Mathematisch wird dies wie folgt geschrieben:

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Die Zusammensetzung ist nur für Eingaben $x$ aus der Definitionsmenge von $g$ definiert, deren Funktionswert $g(x)$ in der Definitionsmenge von $f$ liegt:

D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}

Berechnung eines Rabatts

Wir berechnen den Endpreis für einen Artikel im Wert von $\text{Rp}200{.}000{,}00$ . Das vereinfachte Beispiel lässt Steuern, Mindestkaufbedingungen und Preisuntergrenzen unberücksichtigt, sodass nur die Reihenfolge der beiden Operationen variiert.

Sei $x$ der Anfangspreis des Artikels.

$20\%$ : $d(x) = x - 0{,}20x = 0{,}80x$
$\text{Rp}25{.}000{,}00$ : $p(x) = x - 25000$

Nun verknüpfen wir die beiden Funktionen in der jeweiligen Reihenfolge der Aktion:

$Aktion A (erst Rabatt, dann Preisnachlass)$ : Wir suchen $(p \circ d)(x)$

\begin{aligned} (p \circ d)(x) &= p(d(x)) \\ &= p(0{,}80x) \\ &= 0{,}80x - 25000 \end{aligned}

Für $x = 200000$ :

\begin{aligned} &(p \circ d)(200000) \\ &= 0{,}80(200000) - 25000 \\ &= 160000 - 25000 \\ &= 135000 \end{aligned}

Der Endpreis für Aktion A beträgt also $\text{Rp}135{.}000{,}00$ .

$Aktion B (zuerst Preissenkung, dann Rabatt)$ : Wir suchen $(d \circ p)(x)$

\begin{aligned}(d \circ p)(x) &= d(p(x)) \\ &= d(x - 25000) \\ &= 0{,}80(x - 25000) \\ &= 0{,}80x - 20000\end{aligned}

Für $x = 200000$ :

\begin{aligned} &(d \circ p)(200000) \\ &= 0{,}80(200000) - 20000 \\ &= 160000 - 20000 \\ &= 140000 \end{aligned}

Der Endpreis mit Aktion B beträgt also $\text{Rp}140{.}000{,}00$ .

Bei diesem Artikel ergibt Aktion A ( $p \circ d$ ) den Endpreis $\text{Rp}135{.}000{,}00$ , Aktion B ( $d \circ p$ ) dagegen $\text{Rp}140{.}000{,}00$ . Die umgekehrte Reihenfolge verändert also das Ergebnis. Im Allgemeinen gilt $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ .

Verfolge den $Zwischenpreis$ nach dem ersten Schritt. Bei Aktion B verkleinert der prozentuale Rabatt auch den festen Abzug. Dessen wirksamer Preisnachlass fällt dadurch geringer aus.

Zwei Reihenfolgen für den Preisnachlass

Beide Reihenfolgen der Funktionskomposition vergleichen

Angenommen, wir haben zwei Funktionen:

f(x) = 2x + 1

Bestimme $(f \circ g)(x)$ und $(g \circ f)(x)$ .

$Lösung$ :

$(f \circ g)(x)$ :

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3)

Ersetze $x$ in $f(x)$ durch $g(x)$ :

\begin{aligned} f(x^2 - 3) &= 2(x^2 - 3) + 1 \\ &= 2x^2 - 6 + 1 \\ &= 2x^2 - 5 \end{aligned}

Also $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 5$ .

$(g \circ f)(x)$ :

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1)

Ersetze $x$ in $g(x)$ durch $f(x)$ :

\begin{aligned} g(2x + 1) &= (2x + 1)^2 - 3 \\ &= (4x^2 + 4x + 1) - 3 \\ &= 4x^2 + 4x - 2 \end{aligned}

Also $(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 2$ .

Die beiden Ergebnisse sind im Allgemeinen verschieden. Damit ist die Funktionskomposition nicht kommutativ.

Die Definitionsmenge hängt von der Reihenfolge ab

Eine Funktionszusammensetzung ist nicht dasselbe wie das Produkt zweier Funktionen. Für ihre Definitionsmenge müssen die Bedingungen beider Funktionen geprüft werden. Sei

f(u)=\sqrt{u-1}

Dann gilt

(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1}

Die Eingabe muss sowohl $x\in D_g=\mathbb{R}$ als auch $g(x)=x^2\in D_f=[1,\infty)$ erfüllen. Daher gilt

x^2\ge 1

Diese Prüfung erklärt, warum Werte zwischen $-1$ und $1$ $ausgeschlossen$ sind: Sie machen den Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ.

Ein vereinfachter Term behält seine Einschränkungen

$Behalte die Definitionsbedingungen beim Vereinfachen bei$ . Sei $a(u)=1/u$ und $b(x)=1/x$ , jeweils für reelle Eingaben ungleich null:

(a\circ b)(x)=\frac1{1/x}=x,\qquad D_{a\circ b}=\mathbb{R}\setminus\{0\}

Der abschließende Term sieht wie die Identität aus. Dennoch bleibt $x=0$ ausgeschlossen, weil schon die erste Operation $b(0)$ nicht definiert ist.

Funktionen und andere Relationen

Funktionsbegriff

FunktionskompositionVerknüpfe Funktionen nacheinander und vergleiche das Ergebnis, wenn ihre Reihenfolge vertauscht wird.

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Funktionen nacheinander anwenden
- Definition der Funktionszusammensetzung
- Berechnung eines Rabatts
Beide Reihenfolgen der Funktionskomposition vergleichen
Die Definitionsmenge hängt von der Reihenfolge ab
- Ein vereinfachter Term behält seine Einschränkungen

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Veröffentlicht: 22.08.2026. Aktualisiert: 12.09.2026.