Funktionskomposition verstehen
Stellen Sie sich vor, Sie kaufen in einem Geschäft ein, das zwei attraktive Sonderangebote anbietet:
- Aktion A: Rabatt, dann ein weiterer Abzug von .
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Stellen Sie sich vor, Sie kaufen in einem Geschäft ein, das zwei attraktive Sonderangebote anbietet:
Führen beide Aktionen zum gleichen Endpreis? Welche Aktion ist vorteilhafter? Um dies zu beantworten, müssen wir das Konzept der Funktionskomposition verstehen.
Unter Funktionskomposition versteht man die sequentielle Kombination von zwei oder mehr Funktionen, um eine neue Funktion zu erzeugen.
Für Funktionen und ist ihre Zusammensetzung eine neue Funktion von der Definitionsmenge in die Zielmenge .
Das bedeutet, dass wir zuerst die Funktion anwenden und dann ihr Ergebnis in die Funktion eingeben.
Mathematisch wird dies wie folgt geschrieben:
Die Zusammensetzung ist nur für Eingaben aus der Definitionsmenge von definiert, deren Funktionswert in der Definitionsmenge von liegt:
Wir berechnen den Endpreis für einen Artikel im Wert von . Das vereinfachte Beispiel lässt Steuern, Mindestkaufbedingungen und Preisuntergrenzen unberücksichtigt, sodass nur die Reihenfolge der beiden Operationen variiert.
Sei der Anfangspreis des Artikels.
Nun verknüpfen wir die beiden Funktionen in der jeweiligen Reihenfolge der Aktion:
Aktion A (erst Rabatt, dann Preisnachlass): Wir suchen
Für :
Der Endpreis für Aktion A beträgt also .
Aktion B (zuerst Preissenkung, dann Rabatt): Wir suchen
Es stellt sich heraus, dass die Reihenfolge der Anwendung der Funktionen (Rabatt und Preisnachlass) das Endergebnis beeinflusst. Aktion A () ist für den Käufer vorteilhafter als Aktion B () für einen Artikel mit einem Preis von . Dies zeigt, dass im Allgemeinen .
Angenommen, wir haben zwei Funktionen:
Bestimmen Sie und .
Lösung:
Berechnung von :
Ersetzen Sie in durch :
Also .
Berechnung von :
Beachten Sie, dass die nichtkommutative Eigenschaft veranschaulicht.
Eine Funktionszusammensetzung ist nicht dasselbe wie das Produkt zweier Funktionen. Ihre Definitionsmenge lässt sich außerdem nicht allein an der Endformel ablesen. Sei
Dann gilt
Die Eingabe muss sowohl als auch erfüllen. Daher gilt
Diese Prüfung erklärt, warum Werte zwischen und ausgeschlossen sind: Sie machen den Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ.
Für :
Der Endpreis mit Aktion B beträgt also .
Ersetzen Sie in durch :
Also .