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Nehmen wir an, wir haben eine Funktion .
Eine Funktion heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente der Definitionsmenge stets verschiedene Bilder in der Zielmenge besitzen. Zwei verschiedene Eingaben dürfen also nicht dieselbe Ausgabe erzeugen.
Formale Definition:
Eine Funktion ist injektiv, wenn für jedes gilt:
Oder äquivalent (unter Verwendung des Kontrapositivs):
Stell dir vor, jeder Schüler einer Schule erhält eine eigene Kennnummer. Keine zwei Schüler dürfen dieselbe Nummer besitzen. Die Zuordnung von Schülern zu Kennnummern ist dann injektiv.
Beispiele:
Das lineare Beispiel lässt sich direkt mit der Definition der Injektivität beweisen:
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge Bild von mindestens einem Element der Definitionsmenge ist. Es bleibt also kein Zielwert unerreicht. Bei einer surjektiven Funktion stimmen Bildmenge und Zielmenge überein.
Formale Definition:
Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes mindestens ein existiert, sodass:
Stell dir vor, jeder Schüler wird einer Klasse zugeordnet. Mehrere Schüler dürfen dieselbe Klasse besuchen. Die Zuordnung ist surjektiv, wenn jede Klasse der Zielmenge mindestens einen Schüler hat.
Beispiele:
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Jedes Element der Zielmenge wird dann von genau einem Element der Definitionsmenge erreicht.
Eine bijektive Funktion stellt damit eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Definitionsmenge und Zielmenge her.
Formale Definition:
Eine Funktion ist bijektiv, wenn für jedes genau ein existiert, sodass:
Stell dir zwei Mengen mit gleich vielen Elementen vor. Jedes Element der ersten Menge wird genau einem Element der zweiten Menge zugeordnet, und jedes Element der zweiten Menge wird genau einmal erreicht. Eine solche Abbildung ist bijektiv.
Eine Funktion besitzt genau dann eine beidseitige Umkehrfunktion , wenn sie bijektiv ist. Eine injektive Funktion lässt sich auf ihrer tatsächlichen Bildmenge umkehren, sobald diese Bildmenge als Zielmenge gewählt wird.
| Zuordnung von reellen Zahlen zu reellen Zahlen | Injektiv | Surjektiv | Begründung |
|---|---|---|---|
| Ja | Ja | Jede Ausgabe hat genau eine Eingabe mit dem halben Wert. | |
| Ja | Ja | Jede Ausgabe hat genau eine reelle Kubikwurzel. | |
| Nein | Nein | Entgegengesetzte Eingaben wiederholen sich, negative Ausgaben fehlen. | |
| Ja | Nein | Die Ausgaben sind positiv, obwohl verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben liefern. | |
| Nein | Ja | Jeder reelle Wert wird erreicht, aber null hat mehrere Urbilder. |
Bei ergeben drei Eingaben den Wert null. Daher ist die Funktion nicht injektiv:
Dieses Polynom ist stetig. Für geht sein Wert gegen , für gegen . Nach dem Zwischenwertsatz wird jeder reelle Wert erreicht. Die Funktion ist also surjektiv.
Alle drei Zuordnungen verwenden . Von der ersten zur zweiten ändert sich die Zielmenge. Bei der dritten wird die Definitionsmenge eingeschränkt. Ordne jede Funktion als injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv ein.
Die Formel hat sich nicht geändert. Die Einordnung ändert sich durch Definitionsmenge und Zielmenge.
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