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Beim Übersetzen wird einem englischen Wort ein indonesisches Wort zugeordnet. Dieser Vorgang lässt sich als Funktion betrachten: Das englische Wort ist die Eingabe, das indonesische Wort die Ausgabe.
Betrachten Sie die folgende Abbildung:
Reale Übersetzungen können mehrdeutig sein. Hier verwenden wir bewusst ein kleines Wörterbuch, in dem jedes ausgewählte Wort genau einer Übersetzung zugeordnet ist.
Die „Übersetzungsmaschine“ ordnet hier dem englischen Wort „Mathematics“ die indonesische Übersetzung „Matematika“ zu.
Was geschieht, wenn wir die Richtung umkehren und von „Matematika“ zurück zu „Mathematics“ gehen?
Dieser umgekehrte Prozess ist die Grundlage des Konzepts der Umkehrfunktion.
Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung der ursprünglichen Funktion um. Ordnet einem Element aus der Definitionsmenge das Element in der Zielmenge zu, dann ordnet (gesprochen „f invers“) dem Wert aus wieder den Wert in zu.
Mathematisch:
Kurz gesagt: Wenn aus den Wert erzeugt, führt von wieder zu zurück.
Wichtig: Die Notation bedeutet nicht (multiplikativ invers oder reziprok). Es handelt sich um eine spezielle Notation für die Umkehrfunktion.
Damit eine Funktion eine beidseitige Umkehrfunktion besitzt, muss bijektiv sein. Eine bijektive Funktion ist sowohl injektiv (eins zu eins) als auch surjektiv.
Die festgelegte Definitionsmenge und Zielmenge sind dabei entscheidend. Ist injektiv, erreicht aber nicht ganz , kann man die Zielmenge durch die tatsächliche Bildmenge ersetzen. Schreiben wir diese als , dann ist bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion . Ist nicht injektiv, ordnet die umgekehrte Relation einer Ausgabe mehrere Eingaben zu. Sie ist dann keine Funktion, sofern man die ursprüngliche Definitionsmenge nicht einschränkt.
Zum Beispiel ist auf nicht injektiv, denn . Durch die Einschränkung von Definitionsmenge und Zielmenge erhält man die bijektive Funktion
mit der Umkehrfunktion .
Um die Formel für die Umkehrfunktion aus einer Funktion zu finden, können Sie die folgenden Schritte ausführen:
Beispiel:
Sei durch definiert. Bestimme die Umkehrfunktion.
Ersetzen Sie durch :
und vertauschen:
Nach auflösen:
Ersetzen Sie durch :
Die Umkehrfunktion von ist also .
Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen von an der Geraden .
Betrachten wir zum Beispiel den Graphen von , seine Umkehrung und die Identitätslinie .
Sei durch definiert.
Beginne mit , vertausche die Variablen und löse nach auf:
Überprüfe nun beide Richtungen:
Sowohl als auch haben die Definitionsmenge und die Bildmenge . Die beiden Identitäten bestätigen, dass sich die Funktionen auf ihren vollständigen Definitionsmengen gegenseitig aufheben.
