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Aus einer Funktion entsteht die neue Funktion . Dabei ist die Zahl, die das Funktionsargument multipliziert, und die horizontale Skalierung des neuen Graphen beträgt .
Für jede Funktion und jeden von null verschiedenen Faktor , der das Argument multipliziert, gilt:
Der Faktor bestimmt, was mit der Breite geschieht:
Der Wert ist ausgeschlossen. Ist definiert, liefert jede reelle Eingabe diesen gleichen Wert. Der Graph ist dann eine waagerechte Gerade.
Der Kehrwert ist hier entscheidend. Ein größerer Betrag des Faktors macht den Graphen schmaler, weil die horizontale Skalierung beträgt.
Die quadratische Funktion zeigt die Wirkung verschiedener Multiplikatoren besonders deutlich.
Der Graph zeigt:
Dieselbe Skalierungsregel gilt für die lineare Funktion .
Der Vergleich zeigt:
Wenn du weißt, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wird, bleibt noch die Frage, welche Werte mitwandern. Die horizontale Skalierung teilt jede horizontale Koordinate durch den Faktor , der das Argument multipliziert. Die Lage entlang der -Achse ändert sich also, die Höhen bleiben gleich.
Betrachte einen Punkt auf dem Graphen von . Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von ist . Der -Wert bleibt , weil eine horizontale Skalierung niemals eine Höhe verändert.
| Teil der Funktion | Vor der Skalierung | Nach der Skalierung mit |
|---|---|---|
| Punkt | Auf dem Graphen von | Wandert zu |
| Definitionsbereich | Das ursprüngliche Intervall | Wird zu |
| Wertebereich | Die ursprünglichen Ausgabewerte | Dieselben Werte wie vorher |
| -Achsenabschnitt | Bei | Wandert zu |
| -Achsenabschnitt | Bei | Bleibt bei |
Der Definitionsbereich schrumpft oder wächst zusammen mit dem Graphen, weil er die erlaubten Werte von enthält. Der Wertebereich behält seine Werte, weil die Höhe des Graphen an jeder Stelle unverändert bleibt. Eine horizontale Verschiebung verschiebt diese Koordinaten, statt sie zu teilen.
Bei einem negativen Faktor kehrt sich die Reihenfolge der Intervallgrenzen um. Aus dem Definitionsbereich wird . Zum Beispiel ergibt den Bereich .
Bei der Exponentialfunktion verändert die horizontale Skalierung, wie schnell der Graph steigt.
Für Exponentialfunktionen:
Ein negatives Vorzeichen im Argument spiegelt den Graphen zusätzlich an der senkrechten Achse.
Für einen negativen Multiplikator gilt:
Die drei Aufgaben nutzen die Breitenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe multipliziert das Argument mit einem angegebenen Faktor, also achte darauf, ob dieser Faktor größer als eins, zwischen null und eins oder negativ ist. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.
Wende den Multiplikator auf das Argument der Funktion an und bestimme die neue Funktionsgleichung.
Der Graph der Funktion wird mit dem Faktor im Argument horizontal skaliert. Bestimme die Gleichung der skalierten Funktion und danach den Definitionsbereich dieser Funktion.
Skaliere die Funktion horizontal mit dem Multiplikator und bestimme den neuen Scheitelpunkt.
Jede Lösung beginnt damit, durch das Produkt aus dem Faktor und zu ersetzen, denn dort steckt die Breitenregel. Danach wird die Gleichung vereinfacht und der neue Graph geprüft, damit klar bleibt, ob er gestreckt oder gestaucht wurde.
Aufgabe 1. Horizontale Skalierung mit dem Multiplikator :
Aufgabe 2. Multipliziere das Argument mit einem Halb, bevor du die Wurzel ziehst. Prüfe die Wurzelbedingung, um den Definitionsbereich zu bestimmen.
Im Graphen:
Aufgabe 3. Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei . Nach horizontaler Skalierung mit dem Multiplikator : wird der Scheitelpunkt zu .
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