Kombinierte Funktionstransformationen

Mehrere Transformationen nacheinander anwenden

Kombinierte Transformationen wenden $Veränderungen nacheinander$ auf dieselbe Funktion an. Jede Operation erhält das vorherige Ergebnis. Eine andere Reihenfolge kann deshalb die Endfunktion verändern.

In der Mathematik lassen sich Verschiebung, Spiegelung, Drehung und Skalierung miteinander verbinden. Dabei muss jeder Zwischenschritt erhalten bleiben, denn die Reihenfolge bestimmt häufig das Endergebnis.

Vertikale und horizontale Kombinationen

Bei Verschiebungen, Achsenspiegelungen und Skalierungen unterscheiden wir $Argument und Funktionswert$ , und jede Gruppe wirkt auf eine andere Achse. Vertikale Operationen verändern die Ausgabe der Funktion, also verschieben sie den Graphen nach oben oder unten oder ändern seine Höhe. Horizontale Operationen verändern das Argument, also verschieben sie den Graphen zur Seite, spiegeln ihn an der $y$ -Achse oder ändern seine Breite.

Vertikale kombinierte Transformationen

Vertikale Transformationen verändern die Lage oder Größe entlang der $y$ -Achse. Eine häufige Kombination ist eine $vertikale Verschiebung$ , gefolgt von einer vertikalen Skalierung.

Wird $f(x)$ zuerst um $b$ vertikal verschoben und danach mit dem Faktor $k$ vertikal skaliert, lautet die neue Funktion:

g(x) = k \cdot (f(x) + b)

Horizontale kombinierte Transformationen

Horizontale Transformationen verändern die Lage oder Größe entlang der $x$ -Achse. Ein Beispiel ist die $Spiegelung$ an der $y$ -Achse mit anschließender horizontaler Verschiebung.

Wird $f(x)$ an der $y$ -Achse gespiegelt und danach horizontal um $a$ verschoben, gilt:

g(x) = f(-(x - a))

Verschieben und anschließendes Skalieren

Wir wenden zwei Transformationen nacheinander auf $f(x) = x^2$ an:

$Ausgangsfunktion$ : $f(x) = x^2$
$Schritt 1$ : Vertikale Verschiebung um $2 \text{ Einheiten}$ nach oben

f_1(x) = f(x) + 2 = x^2 + 2

$Schritt 2$ : Vertikale Skalierung mit dem Faktor $0{,}5$ multiplizieren

\begin{aligned} g(x) &= 0{,}5 \cdot f_1(x) \\ &= 0{,}5(x^2 + 2) \\ &= 0{,}5x^2 + 1 \end{aligned}

$x = 2$ :

Ausgangsfunktion: $f(2) = 2^2 = 4$
Nach der Verschiebung: $f_1(2) = 4 + 2 = 6$
Nach der Skalierung: $g(2) = 0{,}5 \times 6 = 3$

Der Graph zeigt jeden Zwischenschritt:

Vertikale Verschiebung und anschließende Skalierung

Die quadratische Funktion wird zuerst um

2 \text{ Einheiten}

nach oben verschoben und danach mit

0{,}5

vertikal skaliert.

Reihenfolge der Transformationen

Die Reihenfolge der Transformationen kann das Ergebnis verändern. Wir vergleichen deshalb zwei Varianten:

$Vergleich der Reihenfolgen$ :

$Reihenfolge A: erst skalieren, dann verschieben$

Ausgangsfunktion: $f(x) = x^2$
Vertikale Skalierung mit Faktor $2$ : $h_1(x) = 2 \cdot f(x) = 2x^2$
Vertikale Verschiebung um $+1$ : $h_A(x) = h_1(x) + 1 = 2x^2 + 1$

$Reihenfolge B: erst verschieben, dann skalieren$

Ausgangsfunktion: $f(x) = x^2$
Vertikale Verschiebung um $+1$ : $h_2(x) = f(x) + 1 = x^2 + 1$
Vertikale Skalierung mit Faktor $2$ : $h_B(x) = 2 \cdot h_2(x) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$

$x = 1$ :

Reihenfolge A:

Ausgangsfunktion: $f(1) = 1^2 = 1$
Nach der Skalierung: $h_1(1) = 2 \times 1 = 2$
Nach der Verschiebung: $h_A(1) = 2 + 1 = 3$

Reihenfolge B:

Ausgangsfunktion: $f(1) = 1^2 = 1$
Nach der Verschiebung: $h_2(1) = 1 + 1 = 2$
Nach der Skalierung: $h_B(1) = 2 \times 2 = 4$

Die Ergebnisse sind verschieden: $h_A(1) = 3$ und $h_B(1) = 4$ . Beim zweiten Weg wird die Verschiebung ebenfalls mit dem Faktor zwei multipliziert.

Vergleich zweier Transformationsreihenfolgen

Der Graph zeigt, warum Skalieren und Verschieben nicht beliebig vertauscht werden können.

Kombinierte horizontale Transformationen

Auch Spiegelung und horizontale Verschiebung lassen sich kombinieren:

$Ausgangsfunktion$ : $f(x) = 1{,}5^x$
$Schritt 1$ : Spiegelung an der $y$ -Achse Ersetze $x$ durch $-x$

f_1(x) = f(-x) = 1{,}5^{-x}

$Schritt 2$ : Horizontale Verschiebung um $2 \text{ Einheiten}$ nach rechts

\begin{aligned} g(x) &= f_1(x-2) \\ &= 1{,}5^{-(x-2)} \\ &= 1{,}5^{-x+2} \end{aligned}

$x = 3$ :

Ausgangsfunktion: $f(3) = 1{,}5^3 = 3{,}375$
Nach der Spiegelung: $f_1(3) = 1{,}5^{-3} = \frac{1}{3{,}375} \approx 0{,}296$
Nach der Verschiebung: $g(3) = 1{,}5^{-(3-2)} = 1{,}5^{-1} = \frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}667$

Der Graph zeigt wieder beide Zwischenschritte:

Spiegelung und anschließende horizontale Verschiebung

Die Exponentialfunktion wird zuerst an der

y

-Achse gespiegelt und danach nach rechts verschoben.

Eigenschaften kombinierter Transformationen

Vergleiche die $Endformeln beider Reihenfolgen$ , um ihre Vertauschbarkeit zu prüfen. Auch Sonderfälle können übereinstimmen, etwa der Skalierungsfaktor eins oder eine Verschiebung um null.

Eigenschaft	Bedeutung	Beispiel
Reihenfolge zählt	Zwei Operationen auf derselben Achse sind nicht immer vertauschbar	Skalieren und dann Verschieben ergibt $kf(x)+b$ . Verschieben und dann Skalieren ergibt $k(f(x)+b)$
Verschiedene Achsen sind frei	Eine horizontale und eine vertikale Transformation lassen sich in beliebiger Reihenfolge ausführen	Erst die Höhe ändern und dann seitlich verschieben führt in beiden Reihenfolgen zum selben Graphen
Gleiche Art verbindet sich	Verschiebungen in dieselbe Richtung addieren ihre Abstände, Skalierungen auf derselben Achse multiplizieren ihre Faktoren	Erst um $2$ nach oben, dann um $3$ nach oben verschiebt den Graphen um $5$ nach oben
Stetigkeit bleibt erhalten	Hat die Ausgangsfunktion keine Lücke und keinen Sprung, hat es die Ergebnisfunktion auch nicht	Eine stetige Funktion $f(x)$ bleibt nach kombinierten Verschiebungen, Achsenspiegelungen und Skalierungen mit Faktoren ungleich null stetig

Verwende $Zwischenfunktionen$ in der verlangten Reihenfolge. Für $f_1(x)=f(-x)$ ergibt eine anschließende Rechtsverschiebung $g(x)=f_1(x-a)=f(-(x-a))$ . Die Rechenreihenfolge im Argument ist keine allgemeine Regel für die Reihenfolge der Graphenbewegungen.

Übungen

Die folgenden Aufgaben verbinden zwei oder mehr Transformationen, lies also zuerst die angegebene Reihenfolge. Notiere das $Ergebnis jedes Schritts$ , bevor du die nächste Transformation anwendest. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

Verschiebe die Funktion $f(x) = x^2$ um $3 \text{ Einheiten}$ nach oben und skaliere sie danach vertikal mit $\frac{1}{2}$ . Bestimme die neue Funktionsgleichung.
Spiegle die Funktion $g(x) = 2^x$ an der $y$ -Achse und verschiebe sie danach um $1 \text{ Einheit}$ nach rechts. Gib die neue Funktionsgleichung an.
Vergleiche für die Funktion $h(x) = x^2$ die Ergebnisse von Reihenfolge A und Reihenfolge B. Reihenfolge A skaliert zuerst vertikal mit $3$ und verschiebt danach um $2 \text{ Einheiten}$ nach oben. Reihenfolge B verschiebt zuerst um $2 \text{ Einheiten}$ nach oben und skaliert danach vertikal mit $3$ . Erkläre, warum sich beide Ergebnisse unterscheiden.
Die Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ wird in $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$ überführt. Nenne alle Transformationen in der richtigen Reihenfolge.
Bestimme die neue Funktionsgleichung, wenn $f(x) = |x|$ um $2 \text{ Einheiten}$ nach links verschoben, an der $x$ -Achse gespiegelt und danach vertikal mit dem Faktor $3$ gestreckt wird.

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Schrittweise Transformation von $f(x) = x^2$ :

Schritt 1: $vertikale Verschiebung$ um $+3$

f_1(x) = x^2 + 3

Schritt 2: vertikale Skalierung mit Faktor $\frac{1}{2}$

g(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 3) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}

Die neue Funktionsgleichung lautet damit $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$ .

Schritt für Schritt: erst verschieben, dann skalieren

Ausgangsgraph und Endergebnis der quadratischen Funktion im Vergleich.

$Aufgabe 2$ . Schrittweise Transformation von $g(x) = 2^x$ :

Schritt 1: Spiegelung an der $y$ -Achse

g_1(x) = 2^{-x}

Schritt 2: $horizontale Verschiebung$ um $1 \text{ Einheit}$ nach rechts

h(x) = 2^{-(x-1)} = 2^{-x+1} = 2 \cdot 2^{-x}

Die neue Funktionsgleichung lautet damit $h(x) = 2^{1-x}$ .

Spiegelung und Verschiebung der Exponentialfunktion

Ausgangsgraph und Ergebnis nach beiden Transformationen.

$Aufgabe 3$ . Vergleich zweier Transformationsordnungen:

$Reihenfolge A$ : zuerst skalieren, dann verschieben

h_1(x) = 3x^2

$Reihenfolge B$ : zuerst verschieben, dann skalieren

h_2(x) = x^2 + 2

Die Ergebnisse sind verschieden: $h_A(x) = 3x^2 + 2$ und $h_B(x) = 3x^2 + 6$ .

Einfluss der Reihenfolge auf das Ergebnis

Die beiden Reihenfolgen führen zu unterschiedlichen vertikalen Lagen.

$Aufgabe 4$ . Analyse der Transformation $g(x) = 2\sqrt{x + 3} - 1$ aus $f(x) = \sqrt{x}$ :

Die Transformationen erfolgen nacheinander:

Verschiebung um $3 \text{ Einheiten}$ nach links: $f(x + 3) = \sqrt{x + 3}$
Vertikale Skalierung mit Faktor $2$ : $2\sqrt{x + 3}$
Verschiebung um $1 \text{ Einheit}$ nach unten: $2\sqrt{x + 3} - 1$

Das ist $eine gültige Reihenfolge$ . Die horizontale Verschiebung lässt sich mit den beiden vertikalen Operationen vertauschen. Erst nach unten verschieben und dann verdoppeln ergibt jedoch eine andere Funktion. Aus $x+3\ge0$ folgt der Definitionsbereich $x\ge-3$ . Der kleinste Funktionswert ist $-1$ .

$Aufgabe 5$ . Verschiebe den Scheitelpunkt $zwei Einheiten nach links$ . Wechsle danach das Vorzeichen jedes Funktionswerts und verdreifache seinen Betrag. Der neue Scheitelpunkt liegt bei $(-2,0)$ .

Schrittweise Transformation von $f(x) = |x|$ :

f_1(x) = |x + 2|

Die neue Funktionsgleichung lautet damit $g(x) = -3|x + 2|$ .

Verschiebung, Spiegelung und Skalierung der Betragsfunktion

Ausgangsgraph und Ergebnis nach allen drei Transformationen.