Horizontale Streckung und Stauchung

Die Breite eines Funktionsgraphen verändern

Eine horizontale Skalierung verändert den Abstand zur senkrechten Achse, ohne einen Funktionswert zu ändern. Der Graph kann gestreckt, gestaucht oder gespiegelt werden. Zugehörige Punkte behalten denselben $y$-Wert.

Aus einer Funktion $f(x)$ entsteht die neue Funktion $g(x) = f(kx)$. Dabei ist $k \ne 0$ die Zahl, die das Funktionsargument multipliziert, und die horizontale Skalierung des neuen Graphen beträgt $s = \frac{1}{|k|}$.

Wie der Faktor die Breite ändert

Für jede Funktion $f(x)$ und jeden von null verschiedenen Faktor $k$, der das Argument multipliziert, gilt:

Der Faktor $k$ bestimmt, was mit der Breite geschieht:

• Bei $k > 1$ schrumpft die Breite des Graphen auf $\frac{1}{k}$ ihrer ursprünglichen Größe
• Bei $0 < k < 1$ wächst die Breite des Graphen auf das $\frac{1}{k}$-Fache
• Bei $k = 1$ bleibt der Graph unverändert
• Bei $k < 0$ wird der Graph zusätzlich an der $y$-Achse gespiegelt

Der Wert $k = 0$ ist ausgeschlossen. Ist $f(0)$ definiert, liefert jede reelle Eingabe diesen gleichen Wert. Der Graph ist dann eine waagerechte Gerade.

Der Kehrwert ist hier entscheidend. Ein größerer Betrag des Faktors macht den Graphen schmaler, weil die horizontale Skalierung $\frac{1}{|k|}$ beträgt.

Vergleich am Graphen

Die quadratische Funktion $f(x) = x^2$ zeigt die Wirkung verschiedener Multiplikatoren besonders deutlich.

Der Graph zeigt:

• Wir vergleichen mit der ursprünglichen Funktion $f(x) = x^2$
• Die Funktion $g(x) = (2x)^2$ verwendet den Multiplikator $2$, ihre horizontale Skalierung beträgt also $\frac{1}{2}$
• Die Funktion $h(x) = (0{,}5x)^2$ verwendet den Multiplikator $0{,}5$, ihre horizontale Skalierung beträgt also $2$
• Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei $(0, 0)$

Skalierung einer linearen Funktion

Dieselbe Skalierungsregel gilt für die lineare Funktion $f(x) = x + 2$.

Der Vergleich zeigt:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = x + 2$ hat die Steigung $1$
• Funktion $g(x) = f(2x) = 2x + 2$ hat Steigung $2$ (horizontal komprimiert)
• Funktion $h(x) = f(0{,}5x) = 0{,}5x + 2$ hat Steigung $0{,}5$ (horizontal gestreckt)
• Alle Geraden schneiden die $y$-Achse im gleichen Punkt $(0, 2)$

Welche Werte die horizontale Skalierung verschiebt

Wenn du weißt, ob der Graph gestreckt oder gestaucht wird, bleibt noch die Frage, welche Werte mitwandern. Die horizontale Skalierung teilt jede horizontale Koordinate durch den Faktor $k$, der das Argument multipliziert. Die Lage entlang der $x$-Achse ändert sich also, die Höhen bleiben gleich.

Betrachte einen Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen von $f(x)$. Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von $f(kx)$ ist $(\frac{a}{k}, b)$. Der $y$-Wert bleibt $b$, weil eine horizontale Skalierung niemals eine Höhe verändert.

Der Definitionsbereich schrumpft oder wächst zusammen mit dem Graphen, weil er die erlaubten Werte von $x$ enthält. Der Wertebereich behält seine Werte, weil die Höhe des Graphen an jeder Stelle unverändert bleibt. Eine horizontale Verschiebung verschiebt diese Koordinaten, statt sie zu teilen.

Bei einem negativen Faktor kehrt sich die Reihenfolge der Intervallgrenzen um. Aus dem Definitionsbereich $[c,d]$ wird $[d/k,c/k]$. Zum Beispiel ergibt $2\le -2x\le 6$ den Bereich $-3\le x\le -1$.

Die Wachstumsrate einer Exponentialfunktion verändern

Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ verändert die horizontale Skalierung, wie schnell der Graph steigt.

Für Exponentialfunktionen:

• Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $y = 0$
• Der $y$-Achsenabschnitt bleibt bei $(0, 1)$ gleich
• Die Wachstumsrate der Funktion ändert sich entsprechend dem Multiplikator

Negativer Multiplikator im Funktionsargument

Ein negatives Vorzeichen im Argument spiegelt den Graphen zusätzlich an der senkrechten Achse.

Für einen negativen Multiplikator gilt:

• Der Graph erfährt eine Spiegelung an der $y$-Achse
• Der Betrag der horizontalen Skalierung ist $\frac{1}{|k|}$
• Bei dieser geraden Funktion bleibt die Spiegelung unsichtbar. Der Faktor $2$ halbiert trotzdem die Breite: $f(-2x)=f(2x)=4x^2+1$. Dieser Graph unterscheidet sich von $f(x)=x^2+1$.

Übungen

Die drei Aufgaben nutzen die Breitenregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe multipliziert das Argument mit einem angegebenen Faktor, also achte darauf, ob dieser Faktor größer als eins, zwischen null und eins oder negativ ist. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

1. Wende den Multiplikator $3$ auf das Argument der Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 1$ an und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $g(x) = \sqrt{x}$ wird mit dem Faktor $\frac{1}{2}$ im Argument horizontal skaliert. Bestimme die Gleichung der skalierten Funktion und danach den Definitionsbereich dieser Funktion.

3. Skaliere die Funktion $h(x) = |x - 2|$ horizontal mit dem Multiplikator $-1$ und bestimme den neuen Scheitelpunkt.

Jede Lösung beginnt damit, $x$ durch das Produkt aus dem Faktor und $x$ zu ersetzen, denn dort steckt die Breitenregel. Danach wird die Gleichung vereinfacht und der neue Graph geprüft, damit klar bleibt, ob er gestreckt oder gestaucht wurde.

Lösungen

Aufgabe 1. Horizontale Skalierung mit dem Multiplikator $3$:

Aufgabe 2. Multipliziere das Argument mit einem Halb, bevor du die Wurzel ziehst. Prüfe die Wurzelbedingung, um den Definitionsbereich zu bestimmen.

• Horizontale Skalierung: $G(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}$
• Definitionsbereich nach der Skalierung: $[0, \infty)$ bleibt $[0, \infty)$, weil der Multiplikator positiv ist

Im Graphen:

Aufgabe 3. Die ursprüngliche Funktion $h(x) = |x - 2|$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(2, 0)$. Nach horizontaler Skalierung mit dem Multiplikator $-1$: $H(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|$ wird der Scheitelpunkt zu $(-2, 0)$.