Bei einer kombinierten Transformation werden zwei oder mehr Veränderungen nacheinander auf dieselbe Funktion angewendet. Das ähnelt einem Kochrezept: Schneiden, anbraten und würzen verändern dieselben Zutaten Schritt für Schritt, und eine andere Reihenfolge kann zu einem anderen Ergebnis führen.
In der Mathematik lassen sich Verschiebung, Spiegelung, Drehung und Skalierung miteinander verbinden. Dabei muss jeder Zwischenschritt erhalten bleiben, denn die Reihenfolge bestimmt häufig das Endergebnis.
Vertikale Transformationen verändern die Lage oder Größe entlang der y-Achse. Eine häufige Kombination ist eine vertikale Verschiebung, gefolgt von einer vertikalen Skalierung.
Wird f(x) zuerst um b vertikal verschoben und danach mit dem Faktor k vertikal skaliert, lautet die neue Funktion:
Horizontale Transformationen verändern die Lage oder Größe entlang der x-Achse. Ein Beispiel ist die Spiegelung an der y-Achse mit anschließender horizontaler Verschiebung.
Wird f(x) an der y-Achse gespiegelt und danach horizontal um a verschoben, gilt:
Reihenfolgeabhängig: Manche Transformationen sind nicht kommutativ, sodass eine andere Reihenfolge das Ergebnis verändert. Unabhängige horizontale und vertikale Transformationen können dagegen in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden
Algebraisch vereinfachbar: Mehrere Schritte lassen sich oft zu einer Formel zusammenfassen
Stetigkeit bleibt erhalten: Ist die Ausgangsfunktion stetig, bleibt auch das transformierte Ergebnis stetig
Verschiebe die Funktion f(x)=x2 um 3Einheiten nach oben und skaliere sie danach vertikal mit 21. Bestimme die neue Funktionsgleichung.
Spiegle die Funktion g(x)=2x an der y-Achse und verschiebe sie danach um 1 Einheit nach rechts. Gib die neue Funktionsgleichung an.
Vergleiche für die Funktion h(x)=x2 zwei verschiedene Reihenfolgen:
Reihenfolge A: vertikale Skalierung mit 3, danach Verschiebung um 2Einheiten nach oben
Reihenfolge B: Verschiebung um 2Einheiten nach oben, danach vertikale Skalierung mit
Die Funktion f(x)=x wird in g(x)=2x+3−1 überführt. Nenne alle Transformationen in der richtigen Reihenfolge.
Bestimme die neue Funktionsgleichung, wenn f(x)=∣x∣ um 2Einheiten nach links verschoben, an der x-Achse gespiegelt und danach vertikal mit dem Faktor 3 gestreckt wird.
