Drehung

Alle Graphenpunkte um dasselbe Zentrum drehen

Eine Drehung bewegt die Punkte einer Figur um denselben Mittelpunkt und Winkel. Bei einem Funktionsgraphen wird deshalb die gesamte Punktmenge gedreht.

Stell dir ein Rad vor, das sich dreht. Jeder Punkt auf dem Rad bewegt sich auf einem Kreis um die Radmitte. Bei der Drehung eines Graphen geschieht dasselbe. Jeder Punkt bewegt sich um das Drehzentrum und behält dabei denselben Abstand.

Drehformel für einen beliebigen Mittelpunkt

Um den Punkt $(x, y)$ um den Mittelpunkt $(a, b)$ durch den Winkel $\theta$ zu drehen, berechnest du zuerst seine Koordinaten relativ zum Mittelpunkt. Nenne diese Koordinaten $u$ und $v$:

Drehe diese relativen Koordinaten und addiere anschließend die Mittelpunktkoordinaten. Durch das Addieren von $a$ zur horizontalen und von $b$ zur vertikalen Koordinate erhältst du den gedrehten Punkt im ursprünglichen Koordinatensystem:

Die Symbole in diesen Gleichungen bedeuten:

• $(x, y)$ die ursprünglichen Punktkoordinaten
• $(x', y')$ die Koordinaten nach der Drehung
• $(a, b)$ den Drehmittelpunkt
• $\theta$ den Drehwinkel, wobei positive Winkel gegen den Uhrzeigersinn verlaufen

Drehungen um den Ursprung

Bei einer Drehung um den Ursprung $(0, 0)$ entfernt das Einsetzen von $a=b=0$ die Verschiebungsterme aus der allgemeinen Formel. Übrig bleibt eine reine Drehung um den Winkel $\theta$, die für jeden Punkt dieselbe Matrix verwendet. Die folgenden drei Fälle verwenden jeweils einen positiven Winkel, also eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

1. Drehung um $90^\circ$

2. Drehung um $180^\circ$

3. Drehung um $270^\circ$

Eine gedrehte Parabel

Bei einer Kurve drehst du jeden einzelnen Punkt. Die quadratische Funktion $y = x^2$ eignet sich dafür gut, weil je zwei Punkte denselben Funktionswert haben und du das Ergebnis damit leicht nachrechnen kannst. Die folgende Darstellung zeigt die ursprüngliche Parabel und ihre Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Die gedrehte Kurve erfüllt eine Relation, aber keine eindeutige Funktion der waagerechten Koordinate:

Die Punkte $(1,1)$ und $(-1,1)$ werden zu $(-1,1)$ und $(-1,-1)$. Zur Eingabe $X=-1$ gehören zwei Werte von $Y$.

Eigenschaften einer Drehung

Eine Drehung verschiebt den Graphen um einen festen Mittelpunkt, ohne seine Größe zu ändern. Form und Ausrichtung verhalten sich dabei unterschiedlich. Die Tabelle stellt gegenüber, was unverändert bleibt und was sich ändert.

Weil Abstände und Winkel gleich bleiben, heißt die Drehung eine starre Bewegung. Diese eine Tatsache erklärt, warum Form und Größe erhalten bleiben und nur Lage und Ausrichtung wandern.

Drehungen verschiedener Kurven

Eine Drehung wirkt nicht auf jede Kurve gleich. Eine Gerade bleibt nach der Drehung eine Gerade, ihre Steigung und ihre Lage ändern sich aber. Eine Exponentialkurve dagegen kann nach der Drehung ihre Achse wechseln und muss danach keine Funktion der horizontalen Koordinate mehr sein. Die beiden folgenden Beispiele zeigen diesen Unterschied.

Eine gedrehte Gerade

Bei einer Geraden $y = mx + c$ dreht sich jeder Punkt in eine neue Lage, deshalb ändern sich Steigung und Lage gleichzeitig. Die Drehung um $45^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung zeigt, wie aus der ursprünglichen Geraden eine zweite Gerade wird.

Für das Beispiel $y=2x+1$ liefert die Drehregel die folgenden neuen Koordinaten. Eliminiere die alte Variable, um die Gleichung der gedrehten Geraden zu erhalten.

Eine gedrehte Exponentialkurve

Auch eine Exponentialkurve lässt sich punktweise drehen. Das Ergebnis muss allerdings nicht mehr der Graph einer Funktion der horizontalen Koordinate sein.

Bei dieser konkreten Drehung bleibt das Ergebnis eine Funktion. Mit $X=-2^x$ und $Y=x$ folgt:

Die ursprüngliche waagerechte Asymptote wird zur senkrechten Asymptote $X=0$.

So konstruierst du eine gedrehte Kurve

Beim Drehen einer ganzen Kurve wirkt die Drehformel auf einzelne Punkte, deshalb läuft die Arbeit Punkt für Punkt. Lege zuerst Mittelpunkt und Drehwinkel fest, weil beide in jeder folgenden Rechnung stehen.

Wähle danach mehrere Punkte auf der ursprünglichen Kurve, darunter vorhandene Endpunkte und Scheitelpunkte, und wende die Drehformel auf jeden dieser Punkte an. Zeichne die gedrehten Punkte ein, verbinde sie in der ursprünglichen Reihenfolge und prüfe dazwischen einige zusätzliche Punkte. Das Ergebnis muss keine Funktion von $x$ mehr sein, weil zwei gedrehte Punkte denselben $x$-Wert haben können.

Übungen

In jeder Aufgabe ist genau eine Drehung durchzuführen. Notiere zuerst Mittelpunkt und Drehwinkel, weil beide in jeder Rechnung stehen, und achte auf die Richtung, denn gegen den Uhrzeigersinn und mit dem Uhrzeigersinn liefern verschiedene Ergebnisse. Rechne zuerst ohne Lösungen und vergleiche danach deine Rechenschritte mit den ausführlichen Lösungen.

1. Drehe den Punkt $(3, 4)$ um den Ursprung und um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn.

2. Die Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 1$ wird um $180^\circ$ um den Ursprung gedreht. Bestimme die Koordinaten des neuen Scheitelpunkts, wenn der ursprüngliche Scheitelpunkt bei $(1, 0)$ liegt.

3. Die Gerade $y = 3x - 2$ wird um $270^\circ$ um den Ursprung gedreht. Bestimme die Gleichung der neuen Geraden.

4. Der Punkt $(2, 5)$ wird um $60^\circ$ um den Punkt $(1, 1)$ gedreht. Bestimme seine neuen Koordinaten.

5. Die Funktion $y = \sqrt{x}$ für $x \geq 0$ wird um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Beschreibe die Form der neuen Kurve.

Lösungen

Aufgabe 1. Mit der $90^\circ$-Rotationsformel:

Der gedrehte Punkt lautet damit $(-4, 3)$.

Aufgabe 2. Der ursprüngliche Scheitelpunkt wird um $180^\circ$ gedreht:

Der neue Scheitelpunkt liegt bei $(-1, 0)$.

Aufgabe 3. Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und drehen sie um $270^\circ$:

Die gedrehte Gerade hat damit die Gleichung $y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$.

Aufgabe 4. Berechne zuerst die Koordinaten des Punktes $(2, 5)$ relativ zum Mittelpunkt $(1, 1)$:

Setze diese Werte und den Winkel $60^\circ$ in die Drehformeln ein. Beide Mittelpunktkoordinaten sind $1$, deshalb wird in jeder Formel $1$ addiert:

Die neuen Koordinaten lauten $(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Aufgabe 5. Nach der Drehung der Funktion $y = \sqrt{x}$ um $90^\circ$ gilt:

Die gedrehte Kurve ist die linke Hälfte einer nach oben geöffneten Parabel. Ihr Definitionsbereich ist $x \leq 0$, ihr Wertebereich $y \geq 0$. Sie entspricht der Spiegelung der rechten Hälfte von $y = x^2$ an der $y$-Achse.