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Um den Punkt um den Mittelpunkt durch den Winkel zu drehen, berechnest du zuerst seine Koordinaten relativ zum Mittelpunkt. Nenne diese Koordinaten und :
Drehe diese relativen Koordinaten und addiere anschließend die Mittelpunktkoordinaten. Durch das Addieren von zur horizontalen und von zur vertikalen Koordinate erhältst du den gedrehten Punkt im ursprünglichen Koordinatensystem:
Die Symbole in diesen Gleichungen bedeuten:
Bei einer Drehung um den Ursprung entfernt das Einsetzen von die Verschiebungsterme aus der allgemeinen Formel. Übrig bleibt eine reine Drehung um den Winkel , die für jeden Punkt dieselbe Matrix verwendet. Die folgenden drei Fälle verwenden jeweils einen positiven Winkel, also eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Bei einer Kurve drehst du jeden einzelnen Punkt. Die quadratische Funktion eignet sich dafür gut, weil je zwei Punkte denselben Funktionswert haben und du das Ergebnis damit leicht nachrechnen kannst. Die folgende Darstellung zeigt die ursprüngliche Parabel und ihre Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
Die gedrehte Kurve erfüllt eine Relation, aber keine eindeutige Funktion der waagerechten Koordinate:
Die Punkte und werden zu und . Zur Eingabe gehören zwei Werte von .
Eine Drehung verschiebt den Graphen um einen festen Mittelpunkt, ohne seine Größe zu ändern. Form und Ausrichtung verhalten sich dabei unterschiedlich. Die Tabelle stellt gegenüber, was unverändert bleibt und was sich ändert.
| Eigenschaft | Was passiert | Warum das gilt |
|---|---|---|
| Form | Die Form des Graphen ändert sich nicht | Die Drehung verschiebt jeden Punkt um denselben Winkel um denselben Mittelpunkt |
| Abstände | Der Abstand zwischen zwei Punkten bleibt gleich | Zwei Punkte werden um denselben Mittelpunkt gedreht, deshalb bleibt die Verbindungsstrecke erhalten |
| Winkel zwischen den Seiten | Die Winkel der Figur bleiben gleich | Eine Drehung ist eine starre Bewegung, sie verbiegt die Figur nicht |
| Ausrichtung | Der Graph zeigt in eine neue Richtung | Punkte außerhalb des Mittelpunkts bewegen sich auf Kreisbögen um diesen Punkt |
| Zusammensetzen | Zwei Drehungen um denselben Mittelpunkt addieren ihre Winkel | Erst um , dann um drehen ergibt eine einzige Drehung um |
Weil Abstände und Winkel gleich bleiben, heißt die Drehung eine starre Bewegung. Diese eine Tatsache erklärt, warum Form und Größe erhalten bleiben und nur Lage und Ausrichtung wandern.
Eine Drehung wirkt nicht auf jede Kurve gleich. Eine Gerade bleibt nach der Drehung eine Gerade, ihre Steigung und ihre Lage ändern sich aber. Eine Exponentialkurve dagegen kann nach der Drehung ihre Achse wechseln und muss danach keine Funktion der horizontalen Koordinate mehr sein. Die beiden folgenden Beispiele zeigen diesen Unterschied.
Bei einer Geraden dreht sich jeder Punkt in eine neue Lage, deshalb ändern sich Steigung und Lage gleichzeitig. Die Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung zeigt, wie aus der ursprünglichen Geraden eine zweite Gerade wird.
Für das Beispiel liefert die Drehregel die folgenden neuen Koordinaten. Eliminiere die alte Variable, um die Gleichung der gedrehten Geraden zu erhalten.
Auch eine Exponentialkurve lässt sich punktweise drehen. Das Ergebnis muss allerdings nicht mehr der Graph einer Funktion der horizontalen Koordinate sein.
Bei dieser konkreten Drehung bleibt das Ergebnis eine Funktion. Mit und folgt:
Die ursprüngliche waagerechte Asymptote wird zur senkrechten Asymptote .
Beim Drehen einer ganzen Kurve wirkt die Drehformel auf einzelne Punkte, deshalb läuft die Arbeit Punkt für Punkt. Lege zuerst Mittelpunkt und Drehwinkel fest, weil beide in jeder folgenden Rechnung stehen.
Wähle danach mehrere Punkte auf der ursprünglichen Kurve, darunter vorhandene Endpunkte und Scheitelpunkte, und wende die Drehformel auf jeden dieser Punkte an. Zeichne die gedrehten Punkte ein, verbinde sie in der ursprünglichen Reihenfolge und prüfe dazwischen einige zusätzliche Punkte. Das Ergebnis muss keine Funktion von mehr sein, weil zwei gedrehte Punkte denselben -Wert haben können.
In jeder Aufgabe ist genau eine Drehung durchzuführen. Notiere zuerst Mittelpunkt und Drehwinkel, weil beide in jeder Rechnung stehen, und achte auf die Richtung, denn gegen den Uhrzeigersinn und mit dem Uhrzeigersinn liefern verschiedene Ergebnisse. Rechne zuerst ohne Lösungen und vergleiche danach deine Rechenschritte mit den ausführlichen Lösungen.
Drehe den Punkt um den Ursprung und um gegen den Uhrzeigersinn.
Die Funktion wird um um den Ursprung gedreht. Bestimme die Koordinaten des neuen Scheitelpunkts, wenn der ursprüngliche Scheitelpunkt bei liegt.
Die Gerade wird um um den Ursprung gedreht. Bestimme die Gleichung der neuen Geraden.
Der Punkt wird um um den Punkt gedreht. Bestimme seine neuen Koordinaten.
Die Funktion für wird um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Beschreibe die Form der neuen Kurve.
Aufgabe 1. Mit der -Rotationsformel:
Der gedrehte Punkt lautet damit .
Aufgabe 2. Der ursprüngliche Scheitelpunkt wird um gedreht:
Der neue Scheitelpunkt liegt bei .
Aufgabe 3. Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und drehen sie um :
Die gedrehte Gerade hat damit die Gleichung .
Aufgabe 4. Berechne zuerst die Koordinaten des Punktes relativ zum Mittelpunkt :
Setze diese Werte und den Winkel in die Drehformeln ein. Beide Mittelpunktkoordinaten sind , deshalb wird in jeder Formel addiert:
Die neuen Koordinaten lauten .
Aufgabe 5. Nach der Drehung der Funktion um gilt:
Die gedrehte Kurve ist die linke Hälfte einer nach oben geöffneten Parabel. Ihr Definitionsbereich ist , ihr Wertebereich . Sie entspricht der Spiegelung der rechten Hälfte von an der -Achse.
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