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Für eine Funktion entsteht dabei die neue Funktion . Das Minuszeichen im Argument bewirkt die Spiegelung an der -Achse.
Für jede Funktion gilt:
Jeder Punkt des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt . Die Höhe bleibt gleich, nur die horizontale Position wechselt die Seite.
Punkte auf der Spiegelachse bleiben fest. Bei anderen Punkten wechselt die zur Spiegelachse senkrechte Koordinate ihr Vorzeichen. Zweimaliges Spiegeln führt jeden Punkt an seine Ausgangsposition zurück.
Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion .
Am Graphen lässt sich direkt ablesen:
Dieselbe Spiegelungsregel gilt für die lineare Funktion .
Der Vergleich zeigt:
Eine horizontale Spiegelung klappt den Graphen an der -Achse, deshalb ist die -Achse die Spiegellinie. Jeder Punkt behält seinen Abstand zur Spiegellinie, wandert aber auf die andere Seite.
Betrachte einen Punkt auf dem Graphen von . Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von ist . Der -Wert bleibt , und nur das Vorzeichen der -Koordinate dreht sich um.
| Teil der Funktion | Vor der Spiegelung | Nach der Spiegelung |
|---|---|---|
| Punkt | Auf dem Graphen von | Wandert zu |
| Definitionsbereich | Das ursprüngliche Intervall | Wird zu |
| Wertebereich | Die ursprünglichen Ausgabewerte | Dieselben Werte wie vorher |
| -Achsenabschnitt | Bei | Bleibt bei |
Der Definitionsbereich wechselt auf die andere Seite, weil er die erlaubten Werte von enthält und diese Werte ihr Vorzeichen umkehren. Der Wertebereich bleibt gleich, weil die Höhe des Graphen an jeder Stelle unverändert ist. Eine vertikale Spiegelung klappt stattdessen die Höhen um.
Bei der Exponentialfunktion wird aus Wachstum durch die Spiegelung ein Zerfall.
Für Exponentialfunktionen:
Bei einer Quadratwurzelfunktion wechselt der gesamte Graph von der rechten auf die linke Seite der senkrechten Achse.
Der Graph bestätigt:
Die drei Aufgaben nutzen die Spiegelregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe ersetzt das Argument durch , also erscheint jedes Ergebnis auf der anderen Seite der -Achse. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.
Spiegle die Funktion horizontal und bestimme die neue Funktionsgleichung.
Der Graph der Funktion wird an der -Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung der gespiegelten Funktion und danach den Definitionsbereich dieser Funktion.
Spiegle die Funktion horizontal und bestimme den Scheitelpunkt des neuen Graphen.
Aufgabe 1. Ersetze jede Eingabe durch ihren Gegenwert und vereinfache dann:
Horizontale Reflexion:
Aufgabe 2. Das Negieren der Eingabe schränkt reelle Eingaben nicht ein. Die Exponentialfunktion bleibt für alle reellen Zahlen definiert.
Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:
Im Graphen:
Aufgabe 3. Nach der horizontalen Spiegelung liegt der Scheitelpunkt dort, wo der Ausdruck innerhalb des Betrags null ist.
Der Betrag erreicht sein Minimum, wenn sein Argument null ergibt. Löse diese Gleichung für die waagerechte Koordinate des Scheitelpunkts.
Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei . Nach horizontaler Spiegelung: , der Scheitelpunkt wird .
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