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Bei einer vertikalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der x x x
Für eine Funktion f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) = − f ( x ) g(x) = -f(x) g ( x ) = − f ( x ) x x x
Für jede Funktion f ( x ) f(x) f ( x )
Jeder Punkt ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( x , − y ) (x, -y) ( x , − y )
Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2
Am Graphen lässt sich direkt ablesen:
Die ursprüngliche Funktion f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 )
Die reflektierte Funktion g ( x ) = − x 2 g(x) = -x^2 g ( x ) = − x 2 ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 )
Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der x x x
Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion f ( x ) = 2 x + 3 f(x) = 2x + 3 f ( x ) = 2 x + 3
Die ursprüngliche Funktion f ( x ) = 2 x + 3 f(x) = 2x + 3 f ( x ) = 2 x + 3 y y y ( 0 , 3 ) (0, 3) ( 0 , 3 )
Die reflektierte Funktion g ( x ) = − 2 x − 3 g(x) = -2x - 3 g ( x ) = − 2 x − 3 y y y ( 0 , − 3 ) (0, -3) ( 0 , − 3 )
Beide Geraden schneiden sich auf der x x x
Die x x x x x x
Liegt ( a , b ) (a, b) ( a , b ) f ( x ) f(x) f ( x ) − f ( x ) -f(x) − f ( x ) ( a , − b ) (a, -b) ( a , − b )
Definitionsbereich : Bleibt unverändertWertebereich : Alle Vorzeichen der Funktionswerte kehren sich um Hat die ursprüngliche Funktion den Wertebereich [ c , d ] [c, d] [ c , d ] [ − d , − c ] [-d, -c] [ − d , − c ]
Bei der Exponentialfunktion f ( x ) = 2 x f(x) = 2^x f ( x ) = 2 x
Für Exponentialfunktionen:
Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei y = 0 y = 0 y = 0 x x x
Der y y y ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) ( 0 , − 1 ) (0, -1) ( 0 , − 1 )
Die ursprünglich steigende Funktion wird abnehmend
Bei der sin \sin sin
Die Amplitude bleibt gleich, aber die Wellenrichtung ist umgekehrt
Periode und Frequenz ändern sich nicht
Maximale Punkte werden zu minimalen Punkten und umgekehrt
Spiegle die Funktion f ( x ) = x 2 + 4 x + 3 f(x) = x^2 + 4x + 3 f ( x ) = x 2 + 4 x + 3
Der Graph der Funktion g ( x ) = 3 x + 2 g(x) = 3^x + 2 g ( x ) = 3 x + 2 x x x
Die Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion
Den Wertebereich nach der Spiegelung
Spiegle die Funktion h ( x ) = x + 1 h(x) = \sqrt{x + 1} h ( x ) = x + 1 y y y
Vertikale Reflexion: f ′ ( x ) = − f ( x ) = − ( x 2 + 4 x + 3 ) = − x 2 − 4 x − 3 f'(x) = -f(x) = -(x^2 + 4x + 3) = -x^2 - 4x - 3 f ′ ( x ) = − f ( x ) = − ( x 2 + 4 x + 3 ) = − x 2 − 4 x − 3
Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:
Vertikale Reflexion: g ′ ( x ) = − ( 3 x + 2 ) = − 3 x − 2 g'(x) = -(3^x + 2) = -3^x - 2 g ′ ( x ) = − ( 3 x + 2 ) = − 3 x − 2
Die ursprüngliche Funktion h ( x ) = x + 1 h(x) = \sqrt{x + 1} h ( x ) = x + 1 y y y
Wertebereich nach der Spiegelung: Aus dem ursprünglichen Wertebereich von g ( x ) = 3 x + 2 g(x) = 3^x + 2 g ( x ) = 3 x + 2 ( 2 , ∞ ) (2, \infty) ( 2 , ∞ ) ( − ∞ , − 2 ) (-\infty, -2) ( − ∞ , − 2 ) h ( 0 ) = 0 + 1 = 1 h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1 h ( 0 ) = 0 + 1 = 1 h ′ ( x ) = − x + 1 h'(x) = -\sqrt{x + 1} h ′ ( x ) = − x + 1 