Horizontale Spiegelung

Den Graphen an der senkrechten Achse spiegeln

Bei einer horizontalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der $y$-Achse gespiegelt. Ein Punkt rechts von der Achse erscheint danach im gleichen Abstand links von ihr, so wie ein Gegenstand in einem senkrechten Spiegel.

Für eine Funktion $f(x)$ entsteht dabei die neue Funktion $g(x) = f(-x)$. Das Minuszeichen im Argument bewirkt die Spiegelung an der $y$-Achse.

Spiegelungsregel

Für jede Funktion $f(x)$ gilt:

Jeder Punkt $(x, y)$ des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt $(-x, y)$. Die Höhe bleibt gleich, nur die horizontale Position wechselt die Seite.

Punkte auf der Spiegelachse bleiben fest. Bei anderen Punkten wechselt die zur Spiegelachse senkrechte Koordinate ihr Vorzeichen. Zweimaliges Spiegeln führt jeden Punkt an seine Ausgangsposition zurück.

Die Spiegelung im Graphen

Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion $f(x) = (x - 2)^2$.

Am Graphen lässt sich direkt ablesen:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = (x - 2)^2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(2, 0)$
• Die reflektierte Funktion $g(x) = (-x - 2)^2$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(-2, 0)$
• Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der $y$-Achse

Spiegelung einer linearen Funktion

Dieselbe Spiegelungsregel gilt für die lineare Funktion $f(x) = 2x + 3$.

Der Vergleich zeigt:

• Die ursprüngliche Funktion $f(x) = 2x + 3$ hat eine positive Steigung von $2$
• Die gespiegelte Funktion $g(x) = -2x + 3$ hat die Steigung $-2$
• Beide Geraden schneiden die $y$-Achse im selben Punkt $(0, 3)$

Welche Werte die horizontale Spiegelung umkehrt

Eine horizontale Spiegelung klappt den Graphen an der $y$-Achse, deshalb ist die $y$-Achse die Spiegellinie. Jeder Punkt behält seinen Abstand zur Spiegellinie, wandert aber auf die andere Seite.

Betrachte einen Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen von $f(x)$. Der zugehörige Punkt auf dem Graphen von $f(-x)$ ist $(-a, b)$. Der $y$-Wert bleibt $b$, und nur das Vorzeichen der $x$-Koordinate dreht sich um.

Der Definitionsbereich wechselt auf die andere Seite, weil er die erlaubten Werte von $x$ enthält und diese Werte ihr Vorzeichen umkehren. Der Wertebereich bleibt gleich, weil die Höhe des Graphen an jeder Stelle unverändert ist. Eine vertikale Spiegelung klappt stattdessen die Höhen um.

Exponentielles Wachstum in Zerfall umwandeln

Bei der Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$ wird aus Wachstum durch die Spiegelung ein Zerfall.

Für Exponentialfunktionen:

• Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $y = 0$
• Der $y$-Achsenabschnitt bleibt bei $(0, 1)$ gleich
• Die ursprünglich ansteigende Funktion wird nach der Spiegelung abnehmend

Spiegelung einer Quadratwurzelfunktion

Bei einer Quadratwurzelfunktion wechselt der gesamte Graph von der rechten auf die linke Seite der senkrechten Achse.

Der Graph bestätigt:

• Der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist $[0, \infty)$
• Der Definitionsbereich der reflektierten Funktion $g(x) = \sqrt{-x}$ ist $(-\infty, 0]$
• Beide Kurven treffen sich im Ursprung $(0, 0)$

Übungen

Die drei Aufgaben nutzen die Spiegelregel, die du gerade gelernt hast. Jede Aufgabe ersetzt das Argument $x$ durch $-x$, also erscheint jedes Ergebnis auf der anderen Seite der $y$-Achse. Rechne zuerst ohne die Lösungen und vergleiche danach deine Schritte mit den ausführlichen Rechenwegen.

1. Spiegle die Funktion $f(x) = x^2 + 3x + 2$ horizontal und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $g(x) = 3^x + 1$ wird an der $y$-Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung der gespiegelten Funktion und danach den Definitionsbereich dieser Funktion.

3. Spiegle die Funktion $h(x) = |x + 2|$ horizontal und bestimme den Scheitelpunkt des neuen Graphen.

Lösungen

Aufgabe 1. Ersetze jede Eingabe durch ihren Gegenwert und vereinfache dann:

Horizontale Reflexion:

Aufgabe 2. Das Negieren der Eingabe schränkt reelle Eingaben nicht ein. Die Exponentialfunktion bleibt für alle reellen Zahlen definiert.

Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:

• Horizontale Reflexion: $G(x) = g(-x) = 3^{-x} + 1$
• Definitionsbereich nach der Spiegelung: Bleibt $(-\infty, \infty)$, weil Exponentialfunktionen für alle reellen Zahlen definiert sind

Im Graphen:

Aufgabe 3. Nach der horizontalen Spiegelung liegt der Scheitelpunkt dort, wo der Ausdruck innerhalb des Betrags null ist.

Der Betrag erreicht sein Minimum, wenn sein Argument null ergibt. Löse diese Gleichung für die waagerechte Koordinate des Scheitelpunkts.

Die ursprüngliche Funktion $h(x) = |x + 2|$ hat ihren Scheitelpunkt bei $(-2, 0)$. Nach horizontaler Spiegelung: $H(x) = |-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|$, der Scheitelpunkt wird $(2, 0)$.