Spiegelung an einem Punkt

Das Spiegelzentrum als Mittelpunkt von Ausgangspunkt und Bildpunkt

Die Spiegelung an einem Punkt entspricht einer halben Drehung um $180^\circ$. Dabei ist das Spiegelzentrum der Mittelpunkt zwischen jedem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

Liegt das Spiegelzentrum bei $P(a,b)$ und wird $Q(x,y)$ am Punkt $P$ gespiegelt, dann liegen $Q$, $P$ und $Q'(x',y')$ auf einer Geraden. Der Punkt $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $QQ'$.

Regel für die Spiegelung an einem Punkt

Das Spiegelzentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke. Der Mittelwert jedes Koordinatenpaares entspricht deshalb der jeweiligen Koordinate des Zentrums:

Ein Punkt im Zentrum bleibt fest. Beispielsweise ergibt $Q(a,b)$ den Bildpunkt $Q'(2a-a,2b-b)=(a,b)$.

Einen Punkt an einem anderen Punkt spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $(5, 4)$ unter der Punktspiegelung $\sigma_{(2,3)}$.

Wir spiegeln also den Punkt $Q(5,4)$ am Spiegelzentrum $P(2,3)$.

Hier $x=5$, $y=4$, $a=2$ und $b=3$.

Berechne das Doppelte jeder Zentrumskoordinate und ziehe dann die ursprüngliche Punktkoordinate ab:

Somit ist das Bild des Punktes $(5,4)$ $(-1,2)$.

Eine Gerade an einem Punkt spiegeln

Bestimme die Bildgerade der Geraden $l$ mit $2x - y + 3 = 0$ unter der Punktspiegelung $\sigma_{(1,3)}$.

Wir wählen einen beliebigen Punkt $(x,y)$ auf der Geraden $l$. Nach der Spiegelung am Punkt $P(1,3)$ hat sein Bild die Koordinaten $(x',y')$. Damit gilt:

Wir setzen $x = 2 - x'$ und $y = 6 - y'$ in die Ausgangsgleichung der Geraden $l$ ein:

Ersetzen wir $x'$ und $y'$ wieder durch $x$ und $y$, so lautet die Gleichung der Bildgeraden $l'$:

Äquivalent dazu können wir die Gleichung als $2x - y - 1 = 0$ schreiben.

Übungen

Die Aufgaben verwenden eine Punktspiegelung an einem gegebenen Zentrum. Die dritte spiegelt eine Gerade, sodass ihre Gleichung transformiert wird.

1. Bestimme das Bild des Punktes $(3, -4)$ unter der Punktspiegelung $\sigma_{(-2,3)}$.
2. Der Punkt $K(-5, 1)$ wird am Ursprung $O(0,0)$ gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3. Bestimme die Bildgerade der Geraden $l$ mit $2x + 5y + 6 = 0$ unter der Punktspiegelung $\sigma_{(1,-3)}$.

Lösungen

Prüfe bei einem Punkt, ob das Zentrum die Mitte zwischen Urbild und Bild ist. Bei einer Geraden drückst du zunächst die ursprünglichen Koordinaten durch die Bildkoordinaten aus und setzt dann ein.

Lösung 1

Zentrum $P(-2,3)$, Punkt $Q(3,-4)$. Also $a=-2, b=3, x=3, y=-4$.

Somit ist das Bild des Punktes $Q(3,-4)$ $(-7,10)$.

Lösung 2

Zentrum $O(0,0)$, Punkt $K(-5,1)$. Also $a=0, b=0, x=-5, y=1$.

Somit ist das Bild des Punktes $K(-5,1)$ $K'(5,-1)$.

Lösung 3

Spiegelzentrum $P(1,-3)$, Gerade $2x + 5y + 6 = 0$.

Wir setzen die Ausdrücke in die Geradengleichung ein:

Die Gleichung der Bildgeraden lautet $-2x - 5y - 20 = 0$ oder äquivalent $2x + 5y + 20 = 0$.