Drehung

Drehzentrum und Drehwinkel legen die Abbildung fest

Eine Drehung bewegt jeden Punkt einer Figur $um denselben Winkel$ um ein festes Zentrum. Die Figur wird versetzt und gedreht, während Abstände, Winkel, Form, Größe und die Reihenfolge ihrer Eckpunkte erhalten bleiben.

Zwei Angaben bestimmen eine Drehung:

$Drehzentrum (C)$ : Der feste Punkt, um den die Drehung erfolgt.
$\theta$ : Ein gerichteter Winkel, der Größe und Richtung der Drehung angibt. Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn, ein negativer Winkel im Uhrzeigersinn.

Definition einer Drehung

Das Zentrum $C$ $bleibt fest$ . Für einen Punkt $P\ne C$ bleibt der Abstand $CP=CP'$ erhalten. Die Richtung vom Zentrum wird um den gerichteten Winkel $\theta$ gedreht. Gemessen wird vom Strahl $CP$ zum Strahl $CP'$ , gegen den Uhrzeigersinn positiv.

Winkel, die sich um eine volle Drehung unterscheiden, ergeben denselben Bildpunkt. Beispielsweise ergibt eine Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn dasselbe Bild wie $270^\circ$ im Uhrzeigersinn:

90^\circ-360^\circ=-270^\circ

Drehung um den Ursprung

Bei einer Drehung um den Ursprung bestimmen $Sinus und Kosinus des Drehwinkels$ , wie die Koordinaten kombiniert werden. Mit den Werten besonderer Winkel erhältst du kürzere Regeln:

x' = x \cos \theta - y \sin \theta

Winkel	Bildpunkt	Richtung
$90^\circ$	$(-y,x)$	Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn
$-90^\circ$	$(y,-x)$	Vierteldrehung im Uhrzeigersinn
$180^\circ$	$(-x,-y)$	Halbe Drehung

Drehen eines Punktes um eine Vierteldrehung

Der Punkt $B(0,4)$ wird um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.

Hier: $x=0$ , $y=4$ und $\theta = 90^\circ$ .

Wir kennen $\cos 90^\circ = 0$ und $\sin 90^\circ = 1$ .

Wir verwenden einen $positiven Winkel$ für die Drehung gegen den Uhrzeigersinn:

\begin{aligned} x' &= (0) \cos 90^\circ - (4) \sin 90^\circ \\ &= 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 \\ &= -4 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $B(0,4)$ $B'(-4,0)$ .

Drehung des Punktes

B(0,4)

90^\circ

um den Ursprung

Der Punkt

B(0,4)

wird um

90^\circ

gegen den Uhrzeigersinn um

O(0,0)

auf

B'(-4,0)

gedreht.

Eine Gerade um eine Vierteldrehung drehen

Bestimme die Bildgerade von $y=2x$ nach einer Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ .

Sei $P(x,y)$ ein beliebiger Punkt auf der Geraden $y=2x$ . Nach einer Drehung um $90^\circ$ hat sein Bildpunkt $P'(x',y')$ die Koordinaten:

\begin{aligned} x' &= x \cos 90^\circ - y \sin 90^\circ \\ &= x(0) - y(1) \\ &= -y \end{aligned}

Daraus erhalten wir $y = -x'$ und $x = y'$ .

Wir setzen $x = y'$ und $y = -x'$ in die $ursprüngliche Geradengleichung$ $y=2x$ ein:

(-x') = 2(y')

Wenn man $x'$ und $y'$ wieder durch $x$ und $y$ ersetzt, lautet die Gleichung der Bildgeraden $-x = 2y$ oder $y = -\frac{1}{2}x$ .

Drehung der Geraden

y=2x

90^\circ

um den Ursprung

Die Gerade

y=2x

wird um

90^\circ

gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Ihre Bildgerade ist

y = -\frac{1}{2}x

Übungen

Die ersten beiden Aufgaben verwenden eine $positive Vierteldrehung$ . Die letzte verwendet eine halbe Drehung, bei der beide Koordinaten das Vorzeichen wechseln. Setze bei einer Geraden in die Ausgangsgleichung ein, damit alle Punkte erfasst werden.

Der Punkt $A(3,0)$ wird um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.
Bestimme die Bildgerade von $y=4x$ nach einer Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ .
Der Punkt $P(-2, -5)$ wird um $180^\circ$ um den Ursprung $O(0,0)$ gedreht. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.

Lösungen

Verwende die Sinus- und Kosinuswerte des gegebenen Winkels. Bei einer Geraden $drückst du die ursprünglichen Koordinaten durch die Bildkoordinaten aus$ , bevor du in die Gleichung einsetzt.

$Lösung 1$

Punkt $A(3,0)$ , $\theta = 90^\circ$ . $x=3, y=0$ .

\begin{aligned} x' &= 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ \\ &= 3(0) - 0(1) \\ &= 0 \end{aligned}

Daher ist sein Bild $A'(0,3)$ .

$Lösung 2$

Gerade $y=4x$ , $\theta = 90^\circ$ .

x' = -y

Also $y = -x'$ und $x = y'$ .

Wir setzen in die Geradengleichung ein: $(-x') = 4(y')$ .

Bildgeradengleichung: $-x = 4y$ oder $y = -\frac{1}{4}x$ .

$Lösung 3$

Punkt $P(-2,-5)$ , $\theta = 180^\circ$ . $x=-2, y=-5$ .

\cos 180^\circ = -1

\begin{aligned} x' &= (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ \\ &= (-2)(-1) - (-5)(0) \\ &= 2 - 0 \\ &= 2 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $P$ $P'(2,5)$ .

Drehzentrum und Drehwinkel legen die Abbildung fest

Zwei Angaben bestimmen eine Drehung:

$Drehzentrum (C)$ : Der feste Punkt, um den die Drehung erfolgt.
$\theta$ : Ein gerichteter Winkel, der Größe und Richtung der Drehung angibt. Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn, ein negativer Winkel im Uhrzeigersinn.

Definition einer Drehung

90^\circ-360^\circ=-270^\circ

Drehung um den Ursprung

Bei einer Drehung um den Ursprung bestimmen $Sinus und Kosinus des Drehwinkels$ , wie die Koordinaten kombiniert werden. Mit den Werten besonderer Winkel erhältst du kürzere Regeln:

x' = x \cos \theta - y \sin \theta

Winkel	Bildpunkt	Richtung
$90^\circ$	$(-y,x)$	Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn
$-90^\circ$	$(y,-x)$	Vierteldrehung im Uhrzeigersinn
$180^\circ$	$(-x,-y)$	Halbe Drehung

Drehen eines Punktes um eine Vierteldrehung

Der Punkt $B(0,4)$ wird um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.

Hier: $x=0$ , $y=4$ und $\theta = 90^\circ$ .

Wir kennen $\cos 90^\circ = 0$ und $\sin 90^\circ = 1$ .

Wir verwenden einen $positiven Winkel$ für die Drehung gegen den Uhrzeigersinn:

\begin{aligned} x' &= (0) \cos 90^\circ - (4) \sin 90^\circ \\ &= 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 \\ &= -4 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $B(0,4)$ $B'(-4,0)$ .

Drehung des Punktes

B(0,4)

90^\circ

um den Ursprung

Der Punkt

B(0,4)

wird um

90^\circ

gegen den Uhrzeigersinn um

O(0,0)

auf

B'(-4,0)

gedreht.

Eine Gerade um eine Vierteldrehung drehen

Bestimme die Bildgerade von $y=2x$ nach einer Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ .

Sei $P(x,y)$ ein beliebiger Punkt auf der Geraden $y=2x$ . Nach einer Drehung um $90^\circ$ hat sein Bildpunkt $P'(x',y')$ die Koordinaten:

\begin{aligned} x' &= x \cos 90^\circ - y \sin 90^\circ \\ &= x(0) - y(1) \\ &= -y \end{aligned}

Daraus erhalten wir $y = -x'$ und $x = y'$ .

Wir setzen $x = y'$ und $y = -x'$ in die $ursprüngliche Geradengleichung$ $y=2x$ ein:

(-x') = 2(y')

Wenn man $x'$ und $y'$ wieder durch $x$ und $y$ ersetzt, lautet die Gleichung der Bildgeraden $-x = 2y$ oder $y = -\frac{1}{2}x$ .

Drehung der Geraden

y=2x

90^\circ

um den Ursprung

Die Gerade

y=2x

wird um

90^\circ

gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Ihre Bildgerade ist

y = -\frac{1}{2}x

Übungen

Der Punkt $A(3,0)$ wird um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.
Bestimme die Bildgerade von $y=4x$ nach einer Drehung um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $(0,0)$ .
Der Punkt $P(-2, -5)$ wird um $180^\circ$ um den Ursprung $O(0,0)$ gedreht. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.

Lösungen

Verwende die Sinus- und Kosinuswerte des gegebenen Winkels. Bei einer Geraden $drückst du die ursprünglichen Koordinaten durch die Bildkoordinaten aus$ , bevor du in die Gleichung einsetzt.

$Lösung 1$

Punkt $A(3,0)$ , $\theta = 90^\circ$ . $x=3, y=0$ .

\begin{aligned} x' &= 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ \\ &= 3(0) - 0(1) \\ &= 0 \end{aligned}

Daher ist sein Bild $A'(0,3)$ .

$Lösung 2$

Gerade $y=4x$ , $\theta = 90^\circ$ .

x' = -y

Also $y = -x'$ und $x = y'$ .

Wir setzen in die Geradengleichung ein: $(-x') = 4(y')$ .

Bildgeradengleichung: $-x = 4y$ oder $y = -\frac{1}{4}x$ .

$Lösung 3$

Punkt $P(-2,-5)$ , $\theta = 180^\circ$ . $x=-2, y=-5$ .

\cos 180^\circ = -1

\begin{aligned} x' &= (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ \\ &= (-2)(-1) - (-5)(0) \\ &= 2 - 0 \\ &= 2 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $P$ $P'(2,5)$ .