Drehmatrix

Drehmatrix für den Ursprung bestimmen

Wird ein Punkt $(x,y)$ um den Winkel um den Ursprung gedreht, so ist sein Bild .

Wird ein Punkt $(x,y)$ um den Winkel um den Ursprung gedreht, so ist sein Bild .

\theta

(0,0)

(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)

Wir möchten eine $2 \times 2$ -Matrix finden, beispielsweise $\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$ , die diese Drehung darstellt.

Diese Matrix muss Folgendes erfüllen:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:

Erste Zeile: $rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$ .

Damit diese Gleichung für alle $x$ und $y$ gilt, müssen die Koeffizienten von $x$ beziehungsweise $y$ übereinstimmen. Also gilt $r = \cos \theta$ und $s = -\sin \theta$ .
Zweite Zeile: $tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$ .

Ebenso $t = \sin \theta$ und .

Die einer Drehung um einen Winkel $\theta$ im Bogenmaß (oder Grad) um den Ursprung $O(0,0)$ zugeordnete Matrix lautet:

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

Um einen Punkt $(x,y)$ um einen beliebigen Punkt $P(a,b)$ um einen Winkel $\theta$ zu drehen, führen wir drei Schritte aus:

Verschiebe den Punkt $(x,y)$ so, dass $P(a,b)$ im Ursprung liegt. Dadurch entsteht $(x-a, y-b)$ .
Drehe den verschobenen Punkt mit der Matrix $R_\theta$ um $\theta$ um den Ursprung.
Verschiebe den gedrehten Punkt zurück, indem du $(a,b)$ addierst.

Die mit der Drehung um einen Winkel $\theta$ im Bogenmaß um den Punkt $(a,b)$ verbundene Operation ist:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Die einer Drehung um $\theta = \frac{1}{4}\pi$ Bogenmaß ( $45^\circ$ ) um den Ursprung zugeordnete Matrix lautet:

Wir kennen $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ und $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

R_{\frac{\pi}{4}} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

Diese Matrix dreht jeden Ortsvektor um $45^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn.

Drehung des Punktes

(2,0)

um

45^\circ

um den Ursprung

Der Punkt

A(2,0)

wird um

45^\circ

gegen den Uhrzeigersinn auf

A'(\sqrt{2}, \sqrt{2})

gedreht.

\sqrt{2} \approx 1{,}414

.

Bestimme die Matrix für eine Drehung um den Ursprung $O(0,0)$ mit dem Winkel $\frac{1}{6}\pi$ im Bogenmaß.
Bestimme das Bild des Punktes $P(4,2)$ bei einer Drehung um $60^\circ$ um den Ursprung $O(0,0)$ .
Bestimme das Bild des Punktes $Q(3,1)$ bei einer Drehung um $90^\circ$ um den Punkt $C(1,-2)$ .

Gegeben $\theta = \frac{\pi}{6}$ oder $30^\circ$ :
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Drehmatrix:

$\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$
Punkt $P(4,2)$ , $\theta = 60^\circ$ . $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ , .
Gegeben sind der Punkt $Q(3,1)$ , das Drehzentrum $C(1,-2)$ und $\theta = 90^\circ$ . Damit gilt $(a,b)=(1,-2)$ .

u = \cos \theta

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4)(\frac{1}{2}) - (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix}

Der Bildpunkt ist $P'(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}+1)$ .

\cos 90^\circ = 0

Der Bildpunkt ist $Q'(-2,0)$ .