Drehmatrix

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\theta

(0,0)

(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)

Wir beginnen mit einer allgemeinen $2 \times 2$ -Matrix:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Sie stellt diese Drehung nur dar, wenn sie für alle $x$ und $y$ $dieselben Koordinaten erzeugt$ .

Diese Matrix muss Folgendes erfüllen:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Ausmultiplizieren auf der linken Seite ergibt:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}

Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:

Erste Zeile: $rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$ .

Damit diese Gleichung für alle $x$ und $y$ gilt, müssen die Koeffizienten von $x$ beziehungsweise $y$ übereinstimmen. Also gilt $r = \cos \theta$ und $s = -\sin \theta$ .
Zweite Zeile: $tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$ .

Ebenso $t = \sin \theta$ und .

Drehmatrix für den Ursprung

Jede $Matrixspalte$ ist das Bild eines Einheitsvektors. Der waagerechte Einheitsvektor wird auf $(\cos\theta,\sin\theta)$ gedreht. Der senkrechte startet eine Vierteldrehung weiter, weshalb sein Bild $(-\sin\theta,\cos\theta)$ lautet. Verwende für Sinus und Kosinus dieselbe Winkeleinheit:

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}

Drehung um ein beliebiges Zentrum

Um einen Punkt $(x,y)$ um einen beliebigen Punkt $P(a,b)$ um einen Winkel $\theta$ zu drehen, $verschieben wir, drehen und verschieben zurück$ :

Verschiebe den Punkt $(x,y)$ so, dass $P(a,b)$ im Ursprung liegt. Dadurch entsteht $(x-a, y-b)$ .
Drehe den verschobenen Punkt mit der Matrix $R_\theta$ um $\theta$ um den Ursprung.
Verschiebe den gedrehten Punkt zurück, indem du $(a,b)$ addierst.

Zentrierte Matrixformel

Diese Operation wirkt auf den $Vektor relativ zum Zentrum$ , nicht direkt auf den Ortsvektor vom Ursprung aus:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{aligned}

Wird das Zentrum selbst gedreht, ist der relative Vektor null. Das Zentrum bleibt deshalb fest:

R_\theta\left(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\right)+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=R_\theta\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}

Drehmatrix für einen bestimmten Winkel bestimmen

Für $\theta = \frac{1}{4}\pi$ im Bogenmaß, also $45^\circ$ , sind $Sinus und Kosinus$ gleich $\frac{1}{\sqrt{2}}$ :

\begin{aligned} R_{\frac{\pi}{4}} &= \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}

Diese Matrix dreht jeden Ortsvektor um $45^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn.

Für den Punkt im Diagramm ergibt die Matrixmultiplikation:

\begin{pmatrix}1/\sqrt2&-1/\sqrt2\\1/\sqrt2&1/\sqrt2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2/\sqrt2\\2/\sqrt2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\\sqrt2\end{pmatrix}

Drehung des Punktes

(2,0)

um

45^\circ

um den Ursprung

Der Punkt

A(2,0)

wird um

45^\circ

gegen den Uhrzeigersinn auf

A'(\sqrt{2}, \sqrt{2})

gedreht.

\sqrt{2} \approx 1{,}414

.

Übungen

Die Aufgaben führen vom Aufstellen der Drehmatrix bis zum Anwenden. Die letzte dreht um $ein Zentrum außerhalb des Ursprungs$ .

Bestimme die Matrix für eine Drehung um den Ursprung $O(0,0)$ mit dem Winkel $\frac{1}{6}\pi$ im Bogenmaß.
Bestimme das Bild des Punktes $P(4,2)$ bei einer Drehung um $60^\circ$ um den Ursprung $O(0,0)$ .
Bestimme das Bild des Punktes $Q(3,1)$ bei einer Drehung um $90^\circ$ um den Punkt $C(1,-2)$ .

Lösungen

Beachte das $Minuszeichen im Eintrag rechts oben$ der Drehmatrix. Bei einem beliebigen Zentrum erfolgen Subtraktion und Addition der Zentrumskoordinaten außerhalb der Drehmultiplikation.

$Lösung 1$

Für $\theta = \frac{\pi}{6}$ , also $30^\circ$ , sind Sinus und Kosinus:

\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Einsetzen dieser Werte ergibt:

\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}

$Lösung 2$

Für den Punkt $P(4,2)$ und $\theta = 60^\circ$ gelten $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ und $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (4)(\frac{1}{2}) - (2)(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(\frac{1}{2}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 - \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Der Bildpunkt ist $P'(2-\sqrt{3}, 2\sqrt{3}+1)$ .

$Lösung 3$

Gegeben sind der Punkt $Q(3,1)$ , das Drehzentrum $C(1,-2)$ und $\theta = 90^\circ$ . Damit gilt $(a,b)=(1,-2)$ .

\cos 90^\circ = 0

Der Bildpunkt ist $Q'(-2,0)$ .

Eine Vierteldrehung um ein verschobenes Zentrum

Q dreht sich neunzig Grad gegen den Uhrzeigersinn um C. Beide Radien bleiben gleich lang.

u = \cos \theta

Drehmatrix

Matrixeinträge aus den gedrehten Koordinaten herleiten

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Matrixeinträge aus den gedrehten Koordinaten herleiten

Drehmatrix für den Ursprung

Drehung um ein beliebiges Zentrum

Zentrierte Matrixformel

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