Spiegelung an der horizontalen Achse

Nur die senkrechte Koordinate wechselt ihr Vorzeichen

Bei einer Spiegelung an der $x$-Achse liegt der Bildpunkt eines Punktes außerhalb der Achse auf der gegenüberliegenden Seite der $x$-Achse und hat denselben Abstand zu ihr. Die $x$-Achse wirkt dabei wie ein waagerechter Spiegel.

Hat ein Punkt $P$ die Koordinaten $(x,y)$, dann behält sein Bildpunkt $P'$ dieselbe $x$-Koordinate. Nur die $y$-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen: Aus dem bisherigen $y$-Wert wird sein Gegenwert.

Wenn der Anfangspunkt mathematisch gesehen $P(x,y)$ ist, dann ist sein Bild nach der Spiegelung an der $x$-Achse $P'(x,-y)$.

Punkte und ihre Spiegelbilder visualisieren

Betrachte Punktpaare auf derselben senkrechten Geraden. Ein Punkt über der Achse wird nach unten gespiegelt, ein Punkt unter der Achse nach oben. Urbild und Bild behalten dabei denselben Abstand zur Achse.

In der interaktiven Visualisierung oben lässt sich die Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten (Urbild) und ihren Spiegelpunkten (Bild) direkt beobachten:

• Punkt $A(-5,2)$ wird zu $A'(-5,-2)$
• Punkt $B(-3,1)$ wird zu $B'(-3,-1)$
• Punkt $C(1,2)$ wird zu $C'(1,-2)$
• Punkt $D(4,-2)$ wird zu $D'(4,2)$

Jedes Punktepaar behält denselben Wert von $x$ und wechselt das Vorzeichen von $y$.

Eigenschaften der Spiegelung an der horizontalen Achse

Die Spiegelung behält die waagerechte Koordinate bei und kehrt das Vorzeichen der senkrechten Koordinate um. Die Mitte zwischen Urbild und Bildpunkt liegt auf der Spiegelachse:

Beide Punkte haben den Abstand $|y|$ zur Achse. Liegt der Ausgangspunkt auf der Achse, ist seine senkrechte Koordinate null und er bleibt fest:

Dreiecke und Geraden spiegeln

Die Spiegelung wirkt auf jeden Punkt einer Figur. Drei Eckpunkte reichen aus, um das Bilddreieck festzulegen. Bei einer Geraden setzt du die Koordinatenregel in ihre Gleichung ein. So werden alle Punkte der Geraden gleichzeitig beschrieben.

Ein Dreieck spiegeln

Bestimme das Bild des Dreiecks $ABC$ mit den Eckpunkten $A(-1,4)$, $B(2,1)$ und $C(-2,-1)$ bei der Spiegelung an der $x$-Achse.

Um das Bild des Dreiecks $ABC$ zu bestimmen, wenden wir die Spiegelungseigenschaft auf jeden seiner Eckpunkte an:

Folglich ist das Bild des Dreiecks $ABC$ das Dreieck $A'B'C'$ mit den Eckpunkten $A'(-1,-4)$, $B'(2,-1)$ und $C'(-2,1)$.

Eine Gerade spiegeln

Die Gerade $2x - 3y = 0$ wird an der $x$-Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Lösung:

Ein beliebiger Punkt $P(a,b)$ liege auf der Geraden $2x - 3y = 0$. Dann gilt:

Der an der $x$-Achse gespiegelte Punkt $P(a,b)$ ergibt das Bild $P'(a,-b)$.

Um die Gleichung der gespiegelten Geraden zu erhalten, ersetzen wir die Koordinaten des Bildes durch neue Variablen. Seien $x' = a$ und $y' = -b$.

Daraus erhalten wir $a = x'$ und $b = -y'$.

Wir setzen $a = x'$ und $b = -y'$ in die ursprüngliche Gleichung $2a - 3b = 0$ ein:

Da $x'$ und $y'$ beliebige Variablen sind, die die Koordinaten auf der gespiegelten Geraden darstellen, können wir sie als $x$ und $y$ umschreiben.

Somit lautet die Gleichung der gespiegelten Geraden:

Die Spiegelung an der $x$-Achse ersetzt $y$ durch $-y$ und ändert dadurch $2x-3y=0$ in $2x+3y=0$.