Spiegelung an einer vertikalen Geraden

Punkt und Spiegelbild haben dieselbe Höhe

Ein Punkt auf der Spiegelgeraden bleibt fest. Liegt der Punkt außerhalb, befinden sich Urbild und Bild auf verschiedenen Seiten mit $demselben senkrechten Abstand$ zur Geraden.

Regel für die Spiegelung an einer vertikalen Geraden

Der $Mittelpunkt$ der Verbindung zwischen Urbild und Bild liegt auf der Spiegelgeraden. Die Koordinate entlang der Geraden bleibt gleich. Aus der Mittelpunktkoordinate folgt:

\frac{x+x'}{2}=k\quad\Longrightarrow\quad x+x'=2k\quad\Longrightarrow\quad x'=2k-x,\qquad y'=y

Einen Punkt an einer vertikalen Geraden spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $P(3,2)$ bei der Spiegelung an der Geraden $x=3$ .

In diesem Fall $x=3$ , $y=2$ und $k=3$ .

Mit der Regel $P'(2k - x, y)$ :

x' = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3

Somit ist das Bild des Punktes $P(3,2)$ $P'(3,2)$ . $Der Punkt liegt auf der Spiegelgeraden$ , sein Abbild ist also der Punkt selbst.

Im nächsten Beispiel liegt der Punkt nicht auf der Spiegelgeraden. Bestimme das Bild von $A(1,4)$ bei der Spiegelung an $x=3$ .

Hier $x=1$ , $y=4$ und $k=3$ .

x' = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5

Somit ist das Bild des Punktes $A(1,4)$ $A'(5,4)$ .

Spiegelbild eines Punktes an der Geraden

x=k

Spiegelung des Punktes

A(1,4)

an der Geraden

x=3

mit dem Bildpunkt

A'(5,4)

Übungen

Setze die $Koordinate der Spiegelgeraden$ in die Formel ein. Bei der letzten Aufgabe kennst du den Bildpunkt und berechnest rückwärts die Koordinaten des Ausgangspunktes.

Bestimme das Bild des Punktes $P(3,2)$ bei der Spiegelung an der Geraden $x=5$ .
Der Punkt $B(-2, 5)$ wird an der Geraden $x=1$ gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
Das Bild eines Punktes $C(x,y)$ nach der Spiegelung an der Geraden $x=-2$ ist $C'(0,3)$ . Bestimme die Koordinaten von $C$ .

Lösungen

Prüfe das Ergebnis mit der $Mittelpunktkoordinate$ . Der Mittelwert der veränderten Koordinaten muss der Koordinate der Spiegelgeraden entsprechen. Die andere Koordinate bleibt gleich.

$Lösung 1$

Gegeben seien $P(3,2)$ und die Spiegelgerade $x=5$ . Also $x=3, y=2, k=5$ .

\begin{aligned} x' &= 2k - x \\ &= 2(5) - 3 \\ &= 10 - 3 \\ &= 7 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $P$ $P'(7,2)$ .

$Lösung 2$

Gegeben seien $B(-2, 5)$ und die Spiegelgerade $x=1$ . Also $x=-2, y=5, k=1$ .

\begin{aligned} x' &= 2k - x \\ &= 2(1) - (-2) \\ &= 2 + 2 \\ &= 4 \end{aligned}

Somit ist das Bild des Punktes $B$ $B'(4,5)$ .

$Lösung 3$

Gegeben sei das Bild $C'(0,3)$ und die Spiegelgerade $x=-2$ . Also $x'=0, y'=3, k=-2$ .

Wir kennen $x' = 2k - x$ und $y' = y$ .

Aus $y' = y$ folgt $y = 3$ .

Aus $x' = 2k - x$ folgt $0 = 2(-2) - x$ .

0 = -4 - x

Somit sind die Koordinaten des Punktes $C$ $C(-4,3)$ .