Zentrische Streckung

Figuren von einem Zentrum aus vergrößern oder verkleinern

Eine zentrische Streckung verändert die Größe eines geometrischen Objekts, ohne seine Form zu verändern. Die Lage jedes Bildpunktes wird durch das Streckzentrum und den Streckfaktor bestimmt.

Formale Definition der zentrischen Streckung

Das Streckzentrum $C$ bleibt fest. Für einen Faktor $k\ne0$ bestimmt der Vektor vom Zentrum aus jeden Bildpunkt:

Der Betrag des Faktors bestimmt das Längenverhältnis. Das Vorzeichen bestimmt die Richtung vom Zentrum aus. Die Seitenangaben gelten für Punkte außerhalb des Zentrums.

Zentrische Streckung mit dem Ursprung als Zentrum

Liegt das Zentrum im Ursprung, werden beide Koordinaten mit dem Streckfaktor multipliziert. Das folgt direkt aus der Vektorbeziehung, da die Zentrumskoordinaten null sind:

Einen Punkt vom Ursprung aus strecken

Der Punkt $A(1,2)$ wird mit dem Zentrum $(0,0)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Hier: $x=1$, $y=2$ und $k=2$.

Das Zentrum liegt bei $O(0,0)$. Der Faktor zwei verdoppelt den Abstand vom Zentrum:

Somit ist das Bild $A'(2,4)$.

Zentrische Streckung mit einem beliebigen Zentrum

Wenn das Streckzentrum ein beliebiger Punkt $C(a,b)$ ist und der Streckfaktor $k$ ist, dann ist für einen Punkt $A(x,y)$ sein Bild $A'(x',y')$ gegeben durch:

Die Formel lässt sich in drei Schritten verstehen: Wir verschieben das Streckzentrum $C$ in den Ursprung, strecken dort mit dem Faktor $k$ und verschieben das Ergebnis anschließend zurück.

Einen Punkt von einem beliebigen Zentrum aus strecken

Der Punkt $C(5,2)$ wird mit dem Zentrum $P(2,3)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Für den Ausgangspunkt $C(5,2)$ gilt $x=5, y=2$.

Das Streckzentrum ist $P(2,3)$, also $a=2, b=3$.

Der Streckfaktor ist $k=2$.

Somit ist das Bild $C'(8,1)$.

Übungen

Die ersten beiden Aufgaben strecken einen Punkt, zuerst am Ursprung und dann an einem anderen Zentrum. Die dritte Aufgabe streckt ein ganzes Dreieck mit negativem Faktor, sodass das Bild auf der anderen Seite des Zentrums liegt.

1. Bestimme das Bild von $B(2,5)$ unter der zentrischen Streckung $D_{(O,3)}$ mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $3$.
2. Bestimme das Bild von $B(2,5)$ unter der zentrischen Streckung mit dem Zentrum $P(1,3)$ und dem Streckfaktor $3$.
3. Ein Dreieck mit den Eckpunkten $A(1,1)$, $B(3,1)$ und $C(1,4)$ wird mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $k=-2$ gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks $A'B'C'$.

Lösungen

Unterscheide das Zentrum vom gestreckten Punkt. Subtrahiere die Zentrumskoordinaten, multipliziere mit dem Faktor und addiere das Zentrum wieder. Beim Ursprung ändern die Subtraktion und Addition von null das Ergebnis nicht.

Lösung 1

Ausgangspunkt $B(2,5)$, Streckzentrum $O(0,0)$, $k=3$.

Somit ist das Bild $B'(6,15)$.

Lösung 2

Ausgangspunkt $B(2,5)$, Streckzentrum $P(1,3)$, $k=3$. Damit gilt $x=2, y=5, a=1, b=3$.

Somit ist das Bild $B'(4,9)$.

Lösung 3

Streckzentrum $O(0,0)$, $k=-2$.

Die Koordinaten des Bilddreiecks sind: $A'(-2,-2)$, $B'(-6,-2)$, $C'(-2,-8)$.

Die ursprünglichen Katheten sind $2$ und $3$ lang. Die Bildlängen betragen $4$ und $6$. Die Längen verdoppeln sich, während der Flächeninhalt auf das Vierfache steigt: