Zusammengesetzte Transformationsmatrix

Transformationen nacheinander auf Punkte anwenden

Nacheinander ausgeführte Transformationen bilden eine $Verkettung von Transformationen$ . Das Ergebnis der ersten wird zur Eingabe der nächsten. Hier verwenden wir Zweimal-zwei-Matrizen, die den Ursprung festhalten. Eine Verschiebung um einen von null verschiedenen Vektor braucht eine Vektoraddition oder homogene Koordinaten.

Die Tabelle enthält die verwendeten Operationen. Drehungen und Streckungen haben darin das Zentrum $O(0,0)$ .

Transformation	Matrix
Spiegelung an waagerechter Achse	$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
Spiegelung an senkrechter Achse	$\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Spiegelung an erster Winkelhalbierenden	$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
Spiegelung an zweiter Winkelhalbierenden	$\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$
Punktspiegelung am Ursprung oder halbe Drehung	$\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
Drehung um $\theta$	$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
Streckung mit $k\ne0$	$\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$

Verkettete Transformationen mit Matrizen anwenden

Bei $T_2\circ T_1$ wirkt die $rechts stehende Transformation zuerst$ . Berechne für den Spaltenvektor $P$ das erste Bild und verwende dieses als Eingabe der zweiten Transformation:

P'=M_1P,\qquad P''=M_2P'=M_2(M_1P)=(M_2M_1)P

Wegen der Assoziativität darfst du die Klammern verändern, ohne die Reihenfolge zu ändern. Für viele Punkte berechnest du $M_2M_1$ einmal. Bei einem einzelnen Punkt zeigt die schrittweise Form das Zwischenbild.

$Anschauliches Beispiel$ :

Angenommen, $T_1$ ist eine Spiegelung an der $y$ -Achse und $T_2$ eine Drehung um den Ursprung $O$ um $\frac{1}{2}\pi$ im Bogenmaß, also $90^\circ$ . Gesucht ist das Bild des Punktes $P(x,y)$ unter $T_2 \circ T_1$ .

Die Matrix für $T_1$ (Spiegelung an der $y$ -Achse) ist:

M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Die Matrix für $T_2$ (Drehung $90^\circ$ ) ist:

\begin{aligned} M_2 &= \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

$Methode 1: Sequentielle Transformation auf den Punkt$

Bild von $P(x,y)$ unter $T_1$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $P'(-x,y)$ .

Bild von $P'(-x,y)$ unter $T_2$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}

Das endgültige Bild ist $P''(-y,-x)$ .

$Methode 2: Zuerst zusammengesetzte Matrix$

Zusammengesetzte Matrix $M = M_2 M_1$ :

Schreibe $M=(m_{ij})$ . Die Indizes geben Zeile und Spalte eines Eintrags an. Für $m_{12}$ multiplizierst du die passenden Einträge der ersten Zeile der linken Matrix mit denen der zweiten Spalte der rechten Matrix und addierst die Produkte.

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Bild von $P(x,y)$ unter $M$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}

Das endgültige Bild ist $P''(-y,-x)$ .

Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Wenn viele Punkte dieselbe Verkettung verwenden, berechne $M_2 M_1$ einmal und wende diese zusammengesetzte Matrix anschließend auf jeden Punkt an.

Matrixregel für verkettete Transformationen

Wirkt $M_1$ zuerst und danach $M_2$ , kombinierst du $Zeilen der zweiten Matrix mit Spalten der ersten$ . Jeder Ergebniseintrag ist eine Summe aus zwei Produkten:

M_2M_1=\begin{pmatrix}t&u\\v&w\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}tp+ur&tq+us\\vp+wr&vq+ws\end{pmatrix}

Warum die Reihenfolge zählt

Vergleiche die Spiegelung $F$ an der senkrechten Achse mit einer positiven Vierteldrehung $R$ für $P(2,1)$ . $Vertauschte Reihenfolgen ergeben verschiedene Endpunkte$ :

RF=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad FR=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Reihenfolge	Start	Erstes Bild	Endbild
Spiegeln, dann drehen	$(2,1)$	$(-2,1)$	$(-1,-2)$
Drehen, dann spiegeln	$(2,1)$	$(-1,2)$	$(1,2)$

Die Reihenfolge von Spiegelung und Drehung verändert den Endpunkt

Der grüne Weg spiegelt zuerst und dreht danach. Der orange Weg dreht zuerst und spiegelt danach. Bögen zeigen Drehungen, gerade Strecken verbinden Spiegelpaare.

Spiegelungen und Drehungen mit Matrizen verketten

Zwei Transformationen zu kombinieren heißt, ihre Matrizen zu multiplizieren, und $die Reihenfolge dieses Produkts entscheidet über das Ergebnis$ . Ein Produkt wird von rechts nach links gelesen, sodass die rechte Transformation zuerst auf den Punkt wirkt und ein Vertauschen der beiden Matrizen meist ein anderes Bild ergibt.

Verkettung zweier Spiegelungen

Bestimme das Bild des Punktes $(2,5)$ , der zuerst an der $x$ -Achse und $danach$ an der $y$ -Achse gespiegelt wird.

$Lösung$ :

Sei $T_1$ die Spiegelung an der $x$ -Achse und $T_2$ die Spiegelung an der $y$ -Achse.

Die Matrix für $T_1$ ( $M_1$ ) ist:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Die Matrix für $T_2$ ( $M_2$ ) ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Die Zusammensetzung der Transformationen $T_2 \circ T_1$ hat die Matrix $M = M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes $(2,5)$ ist:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(2)+(0)(5) \\ (0)(2)+(-1)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes ist also $(-2,-5)$ .

Verkettung von Spiegelung und Drehung

Bestimme das Bild des Punktes $(-2,3)$ nach einer Spiegelung an der $y$ -Achse und einer $anschließenden Drehung$ um $180^\circ$ um den Ursprung.

$Lösung$ :

Sei $T_1$ die Spiegelung an der $y$ -Achse und $T_2$ die $180^\circ$ -Drehung um den Ursprung.

Die Matrix für $T_1$ ( $M_1$ ) ist:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Die Matrix für $T_2$ ( $M_2$ ) ist:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Die Zusammensetzung der Transformationen $T_2 \circ T_1$ hat die Matrix $M = M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes $(-2,3)$ ist:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (1)(-2)+(0)(3) \\ (0)(-2)+(-1)(3) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes ist also $(-2,-3)$ .

Verkettung von drei Transformationen

Auf den Punkt $P(2,5)$ werden $nacheinander drei Transformationen$ angewendet: eine Spiegelung an der $x$ -Achse, eine Drehung um $90^\circ$ um den Ursprung und eine weitere Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung. Bestimme den Bildpunkt.

$Lösung$ :

Wir setzen:

$T_1$ : Spiegelung an der $x$ -Achse.

Die Matrix lautet:

M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

$T_2$ : Drehung um $90^\circ$ um den Ursprung.

Die Matrix lautet:

\begin{aligned} M_2 &= \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

$T_3$ : Halbe Umdrehung, also eine Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung.

Die Matrix lautet:

\begin{aligned} M_3 &= \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Die Verkettung lautet $T_3 \circ T_2 \circ T_1$ . Ihre Matrix ist $M = M_3 M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M_2 M_1=(n_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild von $P(2,5)$ ist:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (-1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes ist also $(-5,-2)$ .

Übung

Auf den Punkt $P(2,5)$ werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der $y$ -Achse, eine Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung und eine Spiegelung an der Geraden $y=x$ . Bestimme den Bildpunkt in der $angegebenen Reihenfolge$ .

Lösung

Wir setzen:

$T_1$ : Spiegelung an der $y$ -Achse.

Die Matrix lautet:

M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

$T_2$ : Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung.

Die Matrix lautet:

M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

$T_3$ : Spiegelung an der Geraden $y=x$ .

Die Matrix lautet:

M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Die Verkettung lautet $T_3 \circ T_2 \circ T_1$ . Ihre Matrix ist $M = M_3 M_2 M_1$ .

$Schritt 1$ : Berechne $M_2 M_1$ .

\begin{aligned} &M_2 M_1=(n_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

$Schritt 2$ : Berechne $M = M_3 (M_2 M_1)$ .

\begin{aligned} &M=(m_{ij}) \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild von $P(2,5)$ ist:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

Das Bild des Punktes ist also $(-5,2)$ .

Prüfe das Matrixprodukt mit $Zwischenkoordinaten$ . Nach jeder Operation erhältst du:

(2,5)\xrightarrow{T_1}(-2,5)\xrightarrow{T_2}(2,-5)\xrightarrow{T_3}(-5,2)