Streckungsmatrix

Beide Koordinaten mit demselben Faktor multiplizieren

Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum $O$ und dem Streckfaktor $k \neq 0$ wird ein Punkt $(x,y)$ auf $(kx,ky)$ abgebildet.

Angenommen, die gesuchte Matrix ist:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Gesucht sind $r, s, t, u$ , sodass für jeden Punkt gilt:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:

$Erste Zeile$ : $rx + sy = kx$ . Damit diese Gleichung für alle $x$ und $y$ gilt, müssen die Koeffizienten von $x$ beziehungsweise $y$ übereinstimmen. Also gilt $r = k$ und $s = 0$ .
$Zweite Zeile$ : $tx + uy = ky$ . Ebenso $t = 0$ und $u = k$ .

Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum

Die Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum ist ein $Vielfaches der Einheitsmatrix$ . Für $k\ne0$ lässt sich die Streckung mit dem Faktor $1/k$ rückgängig machen:

D_k=kI=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}

Zentrische Streckung um ein beliebiges Zentrum mit Matrizen

Wird ein Punkt $(x,y)$ mit dem Zentrum $(a,b)$ und dem Streckfaktor $k \neq 0$ gestreckt, lautet sein Bild $(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$ .

Nach dem $Abziehen der Zentrumskoordinaten$ lautet der verschobene Ortsvektor:

\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}

Bestimme die Matrixoperationen, die diesen Vektor auf den gesuchten Bildvektor abbilden:

\begin{pmatrix} k(x-a)+a \\ k(y-b)+b \end{pmatrix}

Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $k \neq 0$ und dem Zentrum $(a,b)$ ist:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Äquivalent dazu gilt:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) \end{aligned}

Bildpunkt einer zentrischen Streckung mit Matrizen bestimmen

Der Punkt $A(2,4)$ wird mit dem Zentrum $P(1,1)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.

$Lösung$ :

Verwende den $Vektor vom Zentrum zum Punkt$ , nicht allein die Punktkoordinaten. Gegeben $x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Somit ist das Bild des Punktes $A(2,4)$ $A'(3,7)$ .

Streckung von

A(2,4)

mit dem Zentrum

P(1,1)

und dem Streckfaktor

k=2

Der Punkt

A(2,4)

wird bezüglich des Zentrums

P(1,1)

mit dem Streckfaktor

k=2

auf

A'(3,7)

abgebildet. Zentrum, Ausgangspunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden, und der Abstand

PA'

ist doppelt so groß wie der Abstand

PA

Übungen

Jede Aufgabe stellt die Streckmatrix auf oder wendet sie an. Der Streckfaktor bestimmt, wie weit sich das Bild vom Zentrum entfernt, und die dritte Aufgabe verschiebt das Zentrum vom Ursprung weg, sodass der $Translationsschritt$ dazukommt.

Bestimme die Koordinaten des Bildes eines Punktes $(a,b)$ unter der zentrischen Streckung $[O,3]$ .
Bestimme die Matrix der zentrischen Streckung mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $-2$ .
Der Punkt $B(-1, 5)$ wird mit dem Zentrum $P(2, -3)$ und dem Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$ gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $B$ .
Das Dreieck $KLM$ hat die Eckpunkte $K(1,1)$ , $L(5,1)$ und $M(3,4)$ . Es wird mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Zeichne das Ausgangs- und das Bilddreieck und bestimme die Koordinaten der Bildeckpunkte.

Lösungen

Beim Ursprung multiplizierst du jede Koordinate mit dem Faktor. Bei einem anderen Zentrum $ziehst du das Zentrum vor dem Multiplizieren ab$ und addierst es danach wieder. Dadurch bleibt das Streckzentrum fest.

$Lösung 1$

Bei der zentrischen Streckung $[O,3]$ ist $O(0,0)$ das Streckzentrum und $k=3$ der Streckfaktor.

Der Punkt sei $Q(a,b)$ .

Dann $x=a, y=b, k=3$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}

Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes $(a,b)$ $(3a, 3b)$ .

$Lösung 2$

Streckzentrum $O(0,0)$ , Streckfaktor $k=-2$ .

Die Streckungsmatrix ist:

\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

$Lösung 3$

Ausgangspunkt $B(-1, 5)$ , Streckzentrum $P(2, -3)$ , Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$ .

$x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$ .

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Berechne die beiden Koordinaten einschließlich des Translationsvektors:

\begin{aligned} &x'=(\frac12)(-3)+(0)(8)+2 \\ &y'=(0)(-3)+(\frac12)(8)-3 \end{aligned}

Die Koordinaten des Bildes des Punkts $B$ sind $B'(\frac{1}{2}, 1)$ .

$Lösung 4$

Dreieck $KLM$ mit $K(1,1)$ , $L(5,1)$ , $M(3,4)$ .

Streckzentrum $O(0,0)$ , $k=2$ .

Bild des Punktes $K(1,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies K'(2,2) \end{aligned}

Bild des Punktes $L(5,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies L'(10,2) \end{aligned}

Bild des Punktes $M(3,4)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \\ &\implies M'(6,8) \end{aligned}

Streckung des Dreiecks

KLM

mit dem Zentrum

O(0,0)

und dem Streckfaktor

k=2

Die zentrische Streckung mit dem Zentrum

O(0,0)

bildet das Dreieck

KLM

auf

K'L'M'

ab.

Beide Koordinaten mit demselben Faktor multiplizieren

Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum $O$ und dem Streckfaktor $k \neq 0$ wird ein Punkt $(x,y)$ auf $(kx,ky)$ abgebildet.

Angenommen, die gesuchte Matrix ist:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}

Gesucht sind $r, s, t, u$ , sodass für jeden Punkt gilt:

\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:

\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}

Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:

$Erste Zeile$ : $rx + sy = kx$ . Damit diese Gleichung für alle $x$ und $y$ gilt, müssen die Koeffizienten von $x$ beziehungsweise $y$ übereinstimmen. Also gilt $r = k$ und $s = 0$ .
$Zweite Zeile$ : $tx + uy = ky$ . Ebenso $t = 0$ und $u = k$ .

Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum

Die Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum ist ein $Vielfaches der Einheitsmatrix$ . Für $k\ne0$ lässt sich die Streckung mit dem Faktor $1/k$ rückgängig machen:

D_k=kI=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}

Zentrische Streckung um ein beliebiges Zentrum mit Matrizen

Wird ein Punkt $(x,y)$ mit dem Zentrum $(a,b)$ und dem Streckfaktor $k \neq 0$ gestreckt, lautet sein Bild $(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$ .

Nach dem $Abziehen der Zentrumskoordinaten$ lautet der verschobene Ortsvektor:

\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}

Bestimme die Matrixoperationen, die diesen Vektor auf den gesuchten Bildvektor abbilden:

\begin{pmatrix} k(x-a)+a \\ k(y-b)+b \end{pmatrix}

Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $k \neq 0$ und dem Zentrum $(a,b)$ ist:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Äquivalent dazu gilt:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) \end{aligned}

Bildpunkt einer zentrischen Streckung mit Matrizen bestimmen

Der Punkt $A(2,4)$ wird mit dem Zentrum $P(1,1)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.

$Lösung$ :

Verwende den $Vektor vom Zentrum zum Punkt$ , nicht allein die Punktkoordinaten. Gegeben $x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Somit ist das Bild des Punktes $A(2,4)$ $A'(3,7)$ .

Streckung von

A(2,4)

mit dem Zentrum

P(1,1)

und dem Streckfaktor

k=2

Der Punkt

A(2,4)

wird bezüglich des Zentrums

P(1,1)

mit dem Streckfaktor

k=2

auf

A'(3,7)

abgebildet. Zentrum, Ausgangspunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden, und der Abstand

PA'

ist doppelt so groß wie der Abstand

PA

Übungen

Bestimme die Koordinaten des Bildes eines Punktes $(a,b)$ unter der zentrischen Streckung $[O,3]$ .
Bestimme die Matrix der zentrischen Streckung mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $-2$ .
Der Punkt $B(-1, 5)$ wird mit dem Zentrum $P(2, -3)$ und dem Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$ gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $B$ .
Das Dreieck $KLM$ hat die Eckpunkte $K(1,1)$ , $L(5,1)$ und $M(3,4)$ . Es wird mit dem Zentrum $O(0,0)$ und dem Streckfaktor $2$ gestreckt. Zeichne das Ausgangs- und das Bilddreieck und bestimme die Koordinaten der Bildeckpunkte.

Lösungen

$Lösung 1$

Bei der zentrischen Streckung $[O,3]$ ist $O(0,0)$ das Streckzentrum und $k=3$ der Streckfaktor.

Der Punkt sei $Q(a,b)$ .

Dann $x=a, y=b, k=3$ .

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}

Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes $(a,b)$ $(3a, 3b)$ .

$Lösung 2$

Streckzentrum $O(0,0)$ , Streckfaktor $k=-2$ .

Die Streckungsmatrix ist:

\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

$Lösung 3$

Ausgangspunkt $B(-1, 5)$ , Streckzentrum $P(2, -3)$ , Streckfaktor $k = \frac{1}{2}$ .

$x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$ .

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} \\ &\quad{}+ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Berechne die beiden Koordinaten einschließlich des Translationsvektors:

\begin{aligned} &x'=(\frac12)(-3)+(0)(8)+2 \\ &y'=(0)(-3)+(\frac12)(8)-3 \end{aligned}

Die Koordinaten des Bildes des Punkts $B$ sind $B'(\frac{1}{2}, 1)$ .

$Lösung 4$

Dreieck $KLM$ mit $K(1,1)$ , $L(5,1)$ , $M(3,4)$ .

Streckzentrum $O(0,0)$ , $k=2$ .

Bild des Punktes $K(1,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies K'(2,2) \end{aligned}

Bild des Punktes $L(5,1)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &\implies L'(10,2) \end{aligned}

Bild des Punktes $M(3,4)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \\ &\implies M'(6,8) \end{aligned}

Streckung des Dreiecks

KLM

mit dem Zentrum

O(0,0)

und dem Streckfaktor

k=2

Die zentrische Streckung mit dem Zentrum

O(0,0)

bildet das Dreieck

KLM

auf

K'L'M'

ab.