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Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum O und dem Streckfaktor wird ein Punkt auf abgebildet.
Angenommen, die gesuchte Matrix ist (rtsu).
Gesucht sind r,s,t,u, sodass für jeden Punkt gilt:
Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:
Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:
- Erste Zeile: rx+sy=kx. Damit diese Gleichung für alle x und y gilt, müssen die Koeffizienten von x beziehungsweise y übereinstimmen. Also gilt r=k und s=0.
- Zweite Zeile: tx+uy=ky. Ebenso t=0 und u=k.
Die Matrix einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum O(0,0) und dem Streckfaktor k=0 lautet:
Wird ein Punkt (x,y) mit dem Zentrum (a,b) und dem Streckfaktor k=0 gestreckt, lautet sein Bild (k(x−a)+a,k(y−b)+b).
Gesucht ist eine Folge von Matrixoperationen, die den verschobenen Ortsvektor (x−ay−b) auf (k(x−a)+ak(y−b)+b) abbildet.
Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k=0 und dem Zentrum (a,b) ist:
Der Punkt A(2,4) wird mit dem Zentrum P(1,1) und dem Streckfaktor 2 gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.
Gegeben x=2,y=4,k=2,a=1,b=1.
Somit ist das Bild des Punktes A(2,4) A′(3,7).
- Bestimme die Koordinaten des Bildes eines Punktes (a,b) unter der zentrischen Streckung [O,3].
- Bestimme die Matrix der zentrischen Streckung mit dem Zentrum O(0,0) und dem Streckfaktor −2.
- Der Punkt B(−1,5) wird mit dem Zentrum P(2,−3) und dem Streckfaktor k=21 gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von .
- Das Dreieck KLM hat die Eckpunkte K(1,1), L(5,1) und M(3,4). Es wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Zeichne das Ausgangs- und das Bilddreieck und bestimme die Koordinaten der Bildeckpunkte.
-
Bei der zentrischen Streckung [O,3] ist O(0,0) das Streckzentrum und k=3 der Streckfaktor.
Der Punkt sei Q(a,b).
Dann x=a,y=b,k=3.
Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes (a,b) (3a,3b).
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Streckzentrum O(0,0), Streckfaktor k=−2.
Die Streckungsmatrix ist:
-
Ausgangspunkt B(−1,5), Streckzentrum P(2,−3), Streckfaktor k=21.
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Dreieck KLM mit K(1,1), L(5,1), M(3,4).
x=−1,y=5,a=2,b=−3,k=21.
Die Koordinaten des Bildes des Punkts B sind B′(21,1).
Streckzentrum O(0,0), k=2.
Bild des Punktes K(1,1):
Bild des Punktes L(5,1):
Bild des Punktes M(3,4):
Die zentrische Streckung mit dem Zentrum
O(0,0) bildet das Dreieck
KLM auf
K′L′M′ ab.
