Matrizen als geometrische Transformationen

Koordinaten durch Matrixmultiplikation abbilden

Eine $2 \times 2$ -Matrix definiert eine lineare Transformation der kartesischen Ebene. Sie $bildet den Ursprung stets auf sich selbst ab$ . Eine Verschiebung um einen von null verschiedenen Vektor benötigt deshalb eine Vektoraddition oder homogene Koordinaten.

Einen Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$ können wir als Ortsvektor schreiben:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Mit dieser Vektorschreibweise lässt sich die Transformation als Matrixmultiplikation darstellen.

Wir betrachten eine Transformation mit der Matrix $M$ :

M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Den Bildpunkt $P'(x',y')$ eines Punktes $P(x,y)$ erhalten wir durch Matrixmultiplikation:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $x' = ax + by$ und $y' = cx + dy$ .

Multiplizieren einer Matrix mit einem Positionsvektor

Der folgende Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt der Ebene:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Berechne dieses Matrixprodukt und bestimme die zugehörige Transformation:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

$Lösung$ :

Verwende die $erste Zeile für die waagerechte Koordinate$ und die zweite für die senkrechte Koordinate:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x) + (-1)(y) \\ (1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \end{aligned}

Die Matrix $R_{90^\circ}$ bildet $(x,y)$ auf $(-y,x)$ ab. Sie dreht den Punkt also um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung:

R_{90^\circ} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Abbildung von

P(2,3)

durch die Matrix

R_{90^\circ}

Der Punkt

P(2,3)

wird auf

P'(-3,2)

abgebildet.

Drei Punkte gleichzeitig transformieren

Bestimme das Bild von $\triangle ABC$ mit den Eckpunkten $A(1,1)$ , $B(4,1)$ und $C(4,2)$ unter der Matrix:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

$Lösung$ :

Zuerst schreiben wir die Punktkoordinaten als $Spalten einer Matrix$ :

\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Die drei Spalten gehören der Reihe nach zu $A$ , $B$ und $C$ .

Dann multiplizieren wir die Punktmatrix von links mit der Transformationsmatrix:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(-1)(1)+(0)(1) \\ &m_{12}=(-1)(4)+(0)(1) \\ &m_{13}=(-1)(4)+(0)(2) \\ &m_{21}=(0)(1)+(-1)(1) \\ &m_{22}=(0)(4)+(-1)(1) \\ &m_{23}=(0)(4)+(-1)(2) \end{aligned}

Das Ergebnis der Transformation ist ein neues Dreieck $\triangle A'B'C'$ mit den Eckpunkten $A'(-1,-1)$ , $B'(-4,-1)$ und $C'(-4,-2)$ .

Die Matrix $R_{180^\circ}$ beschreibt eine Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung:

R_{180^\circ} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Abbildung von

\triangle ABC

durch die Matrix

R_{180^\circ}

Das Dreieck

ABC

wird auf das Bilddreieck

A'B'C'

abgebildet.

Übungen

Bestimme zunächst die $Koordinatenregel$ durch Multiplikation von Zeilen und Spalten. Bei der zweiten Aufgabe hängt die waagerechte Änderung von der Höhe ab. Verschiedene Punkte müssen sich deshalb nicht gleich weit bewegen.

Berechne das folgende Matrixprodukt. Welche Transformation beschreibt die Matrix?

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Eine Transformation hat die folgende Matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(2,0)$ , $B(2,1)$ und $C(0,1)$ unter dieser Transformation.

Lösungen

Lies beide Ausgabekoordinaten, bevor du die Transformation benennst. Eine $Drehung erhält Längen$ , während eine allgemeine Matrix entsprechende Seitenlängen verändern kann.

$Lösung 1$

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}

Der Punkt $(x,y)$ wird auf $(y,-x)$ abgebildet.

Dies ist eine Drehung um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn. Gleichwertig dazu ist eine Drehung um $270^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

$Lösung 2$

Transformationsmatrix:

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Eckpunkte: $A(2,0)$ , $B(2,1)$ , $C(0,1)$ .

Punktmatrix:

\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(2)+(2)(0) \\ &m_{12}=(1)(2)+(2)(1) \\ &m_{13}=(1)(0)+(2)(1) \\ &m_{21}=(0)(2)+(1)(0) \\ &m_{22}=(0)(2)+(1)(1) \\ &m_{23}=(0)(0)+(1)(1) \end{aligned}

Die Bildpunkte sind $A'(2,0)$ , $B'(4,1)$ und $C'(2,1)$ .

Diese Transformation heißt horizontale Scherung, weil die $x$ -Koordinate um das Doppelte der $y$ -Koordinate verschoben wird, während $y$ unverändert bleibt.

Bei dieser Scherung wird aus der senkrechten Seite $AB$ die schräge Seite $A' B'$ . Die $entsprechende Seitenlänge ändert sich$ , aber beide Dreiecke behalten dieselbe waagerechte Grundseitenlänge und Höhe:

AB=1,\qquad A'B'=\sqrt{(4-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt5

Horizontale Scherung eines Dreiecks

Punkte auf Höhe eins verschieben sich zwei Einheiten nach rechts.

A

auf der waagerechten Achse bleibt fest.

Koordinaten durch Matrixmultiplikation abbilden

Einen Punkt mit den Koordinaten $(x,y)$ können wir als Ortsvektor schreiben:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Mit dieser Vektorschreibweise lässt sich die Transformation als Matrixmultiplikation darstellen.

Wir betrachten eine Transformation mit der Matrix $M$ :

M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

Den Bildpunkt $P'(x',y')$ eines Punktes $P(x,y)$ erhalten wir durch Matrixmultiplikation:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $x' = ax + by$ und $y' = cx + dy$ .

Multiplizieren einer Matrix mit einem Positionsvektor

Der folgende Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt der Ebene:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

Berechne dieses Matrixprodukt und bestimme die zugehörige Transformation:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}

$Lösung$ :

Verwende die $erste Zeile für die waagerechte Koordinate$ und die zweite für die senkrechte Koordinate:

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x) + (-1)(y) \\ (1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \end{aligned}

Die Matrix $R_{90^\circ}$ bildet $(x,y)$ auf $(-y,x)$ ab. Sie dreht den Punkt also um $90^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung:

R_{90^\circ} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Abbildung von

P(2,3)

durch die Matrix

R_{90^\circ}

Der Punkt

P(2,3)

wird auf

P'(-3,2)

abgebildet.

Drei Punkte gleichzeitig transformieren

Bestimme das Bild von $\triangle ABC$ mit den Eckpunkten $A(1,1)$ , $B(4,1)$ und $C(4,2)$ unter der Matrix:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

$Lösung$ :

Zuerst schreiben wir die Punktkoordinaten als $Spalten einer Matrix$ :

\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Die drei Spalten gehören der Reihe nach zu $A$ , $B$ und $C$ .

Dann multiplizieren wir die Punktmatrix von links mit der Transformationsmatrix:

\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(-1)(1)+(0)(1) \\ &m_{12}=(-1)(4)+(0)(1) \\ &m_{13}=(-1)(4)+(0)(2) \\ &m_{21}=(0)(1)+(-1)(1) \\ &m_{22}=(0)(4)+(-1)(1) \\ &m_{23}=(0)(4)+(-1)(2) \end{aligned}

Das Ergebnis der Transformation ist ein neues Dreieck $\triangle A'B'C'$ mit den Eckpunkten $A'(-1,-1)$ , $B'(-4,-1)$ und $C'(-4,-2)$ .

Die Matrix $R_{180^\circ}$ beschreibt eine Drehung um $180^\circ$ um den Ursprung:

R_{180^\circ} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Abbildung von

\triangle ABC

durch die Matrix

R_{180^\circ}

Das Dreieck

ABC

wird auf das Bilddreieck

A'B'C'

abgebildet.

Übungen

Berechne das folgende Matrixprodukt. Welche Transformation beschreibt die Matrix?

$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Eine Transformation hat die folgende Matrix:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(2,0)$ , $B(2,1)$ und $C(0,1)$ unter dieser Transformation.

Lösungen

Lies beide Ausgabekoordinaten, bevor du die Transformation benennst. Eine $Drehung erhält Längen$ , während eine allgemeine Matrix entsprechende Seitenlängen verändern kann.

$Lösung 1$

\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}

Der Punkt $(x,y)$ wird auf $(y,-x)$ abgebildet.

Dies ist eine Drehung um $90^\circ$ im Uhrzeigersinn. Gleichwertig dazu ist eine Drehung um $270^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

$Lösung 2$

Transformationsmatrix:

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Eckpunkte: $A(2,0)$ , $B(2,1)$ , $C(0,1)$ .

Punktmatrix:

\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Berechne jeden Eintrag durch Multiplikation einer Zeile mit einer Spalte:

\begin{aligned} &m_{11}=(1)(2)+(2)(0) \\ &m_{12}=(1)(2)+(2)(1) \\ &m_{13}=(1)(0)+(2)(1) \\ &m_{21}=(0)(2)+(1)(0) \\ &m_{22}=(0)(2)+(1)(1) \\ &m_{23}=(0)(0)+(1)(1) \end{aligned}

Die Bildpunkte sind $A'(2,0)$ , $B'(4,1)$ und $C'(2,1)$ .

Diese Transformation heißt horizontale Scherung, weil die $x$ -Koordinate um das Doppelte der $y$ -Koordinate verschoben wird, während $y$ unverändert bleibt.

AB=1,\qquad A'B'=\sqrt{(4-2)^2+(1-0)^2}=\sqrt5

Horizontale Scherung eines Dreiecks

Punkte auf Höhe eins verschieben sich zwei Einheiten nach rechts.

A

auf der waagerechten Achse bleibt fest.