Beide Koordinaten mit demselben Faktor multiplizieren
Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor wird ein Punkt auf abgebildet.
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Angenommen, die gesuchte Matrix ist:
Gesucht sind , sodass für jeden Punkt gilt:
Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:
Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:
Die Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix. Für lässt sich die Streckung mit dem Faktor rückgängig machen:
Wird ein Punkt mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt, lautet sein Bild .
Nach dem Abziehen der Zentrumskoordinaten lautet der verschobene Ortsvektor:
Bestimme die Matrixoperationen, die diesen Vektor auf den gesuchten Bildvektor abbilden:
Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor und dem Zentrum ist:
Äquivalent dazu gilt:
Der Punkt wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.
Lösung:
Verwende den Vektor vom Zentrum zum Punkt, nicht allein die Punktkoordinaten. Gegeben .
Somit ist das Bild des Punktes .
Jede Aufgabe stellt die Streckmatrix auf oder wendet sie an. Der Streckfaktor bestimmt, wie weit sich das Bild vom Zentrum entfernt, und die dritte Aufgabe verschiebt das Zentrum vom Ursprung weg, sodass der Translationsschritt dazukommt.
Beim Ursprung multiplizierst du jede Koordinate mit dem Faktor. Bei einem anderen Zentrum ziehst du das Zentrum vor dem Multiplizieren ab und addierst es danach wieder. Dadurch bleibt das Streckzentrum fest.
Lösung 1
Bei der zentrischen Streckung ist das Streckzentrum und der Streckfaktor.
Der Punkt sei .
Dann .
Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes .
Lösung 2
Streckzentrum , Streckfaktor .
Die Streckungsmatrix ist:
Lösung 3
Ausgangspunkt , Streckzentrum , Streckfaktor .
.
Berechne die beiden Koordinaten einschließlich des Translationsvektors:
Die Koordinaten des Bildes des Punkts sind .
Lösung 4
Dreieck mit , , .
Streckzentrum , .
Bild des Punktes :
Bild des Punktes :
Bild des Punktes :
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