Verschiebungsmatrix

Von der Vektoraddition zu homogenen Koordinaten

Eine Verschiebung bewegt den Punkt $(x,y)$ horizontal um $a$ und vertikal um $b$ . So entsteht der Bildpunkt $(x+a, y+b)$ .

Diese Operation kann in Form einer Vektoraddition (Spaltenmatrix) geschrieben werden:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}

Drehungen um den Ursprung und Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung lassen sich durch die Multiplikation mit einer $2 \times 2$ -Matrix darstellen. Eine Verschiebung um einen von null verschiedenen Vektor addiert dagegen einen Vektor und $lässt sich so nicht darstellen$ .

Warum homogene Koordinaten nötig sind

Die gewöhnliche Matrixmultiplikation bildet den $Ursprung auf den Ursprung$ ab. Eine Verschiebung um einen Vektor ungleich null versetzt ihn dagegen. Deshalb brauchen wir eine zusätzliche Koordinate:

M\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},\qquad T_{(a,b)}(0,0)=(a,b)

Um die Verschiebung mit linearen Transformationen durch Matrixmultiplikation zu verbinden, verwenden wir $homogene Koordinaten$ . Der Punkt $(x,y)$ wird als Spalte dargestellt:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}

Die Transformation verwendet dann eine $3 \times 3$ -Matrix. Für eine horizontale Verschiebung um $a$ und eine vertikale Verschiebung um $b$ lautet sie:

T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Also:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Homogene Koordinaten überprüfen

Die letzte Koordinate bleibt $gleich eins$ . Im folgenden Beispiel berechnet die erste Zeile die horizontale Position, die zweite die vertikale. Das Ergebnis stimmt mit der Vektoraddition überein:

\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1(-2)+0(3)-3(1)\\0(-2)+1(3)+4(1)\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\7\\1\end{pmatrix}

Einen Bildpunkt mit Matrizen bestimmen

Verschiebe den Punkt $(-2,3)$ mit dem folgenden Vektor und bestimme seinen Bildpunkt mithilfe der Vektordarstellung:

\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

$Lösung$ :

Addiere die $entsprechenden Komponenten$ , um den Bildpunkt zu erhalten:

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix} \end{aligned}

Der Bildpunkt ist $(-5,7)$ .

Verschiebung von

P(-2,3)

nach

P'(-5,7)

Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt

P(-2,3)

auf

P'(-5,7)

ab.

Übungen

Wende $denselben Vektor$ auf jeden Punkt an. Die horizontale Komponente steht in der ersten Zeile, die vertikale in der zweiten. Wiederhole die Addition beim Dreieck für alle drei Eckpunkte.

Verschiebe den Punkt $(4,-5)$ mit dem folgenden Vektor und bestimme seinen Bildpunkt mithilfe der Vektordarstellung:

$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$
Ein Dreieck $KLM$ hat die Eckpunkte $K(1,0)$ , $L(4,2)$ und $M(2,5)$ . Verschiebe es um den folgenden Vektor und bestimme die Koordinaten von $K'L'M'$ :

$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Lösungen

Addiere die $entsprechenden Komponenten$ . Ziehe anschließend von den Bildkoordinaten die ursprünglichen Koordinaten ab. Der erhaltene Verschiebungsvektor muss mit dem Vektor aus der Aufgabe übereinstimmen.

$Lösung 1$

Verwende für den Punkt $(4,-5)$ die Verschiebungen $a=-5$ und $b=4$ .

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Der Bildpunkt ist $(-1,-1)$ .

$Lösung 2$

Wende den gegebenen Verschiebungsvektor $T$ auf jeden Eckpunkt an:

Für $K(1,0)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $K'(-1,1)$ .

Für $L(4,2)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $L'(2,3)$ .

Für $M(2,5)$ :

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} \end{aligned}

Also $M'(0,6)$ .

Die Bildpunkte sind $K'(-1,1)$ , $L'(2,3)$ und $M'(0,6)$ .