Verschiebungsmatrix

Matrixdarstellung einer Verschiebung

Die Verschiebung eines Punktes $(x,y)$ um den Vektor ergibt den Bildpunkt .

Verschiebungsmatrix

Matrixdarstellung einer Verschiebung

Die Verschiebung eines Punktes $(x,y)$ um den Vektor ergibt den Bildpunkt .

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

(x+a, y+b)

Diese Operation kann in Form einer Vektoraddition (Spaltenmatrix) geschrieben werden:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}

Anders als eine Drehung oder Spiegelung lässt sich eine reine Verschiebung nicht durch die Multiplikation mit einer $2 \times 2$ -Matrix darstellen. Sie ist zunächst eine Vektoraddition.

Wenn wir jedoch die Verschiebung mit anderen linearen Transformationen mithilfe der Matrixmultiplikation kombinieren möchten, verwenden wir häufig homogene Koordinaten. Bei homogenen Koordinaten wird ein Punkt $(x,y)$ als $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$ dargestellt und die Transformationsmatrix wird zu $3 \times 3$ . Für die Verschiebung um $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ lautet die Matrix:

T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Also:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix}

Matrixdarstellung

Für die Verschiebung eines Punktes $(x,y)$ um den Vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ gilt:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

Einen Bildpunkt mit Matrizen bestimmen

Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes $(-2,3)$ unter der Verschiebung um $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Lösung:

Die Matrixoperation liefert den Bildpunkt:

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}

Der Bildpunkt ist $(-5,7)$ .

Verschiebung des Punktes

P(-2,3)

um den Vektor

\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}

Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt

P(-2,3)

auf

P'(-5,7)

ab.

Übungen

Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes $(4,-5)$ unter der Verschiebung um $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Ein Dreieck $KLM$ hat die Eckpunkte $K(1,0)$ , $L(4,2)$ und $M(2,5)$ . Dieses Dreieck wird durch den Vektor $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ verschoben. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks $K'L'M'$ .

Lösungen

Ausgangspunkt $(4,-5)$ , Verschiebungsvektor $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Der Bildpunkt ist $(-1,-1)$ .
Verschiebungsvektor $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .
- Für $K(1,0)$ : $\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Also .

K'(-1,1)

Für

L(4,2)

:

\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}

. Also

L'(2,3)

.

Für

M(2,5)

:

\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}

. Also

M'(0,6)

.

Die Bildpunkte sind $K'(-1,1)$ , $L'(2,3)$ und $M'(0,6)$ .