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In der Geometrie bildet eine Transformation jeden Punkt einer Figur auf einen Bildpunkt ab. Je nach Transformation können sich Lage, Ausrichtung, Größe oder Form der Figur ändern. Werden mehrere Transformationen nacheinander angewendet, sprechen wir von einer Verkettung von Transformationen.
Matrizen helfen uns dabei, viele geometrische Transformationen darzustellen und das Ergebnis ihrer Verkettung zu berechnen.
Wir konzentrieren uns auf Transformationen, die sich durch 2×2-Matrizen darstellen lassen. Die Spiegelung an der x-Achse wird zum Beispiel durch (100−1) beschrieben. Wird ein Punkt (x,y) an der x-Achse gespiegelt, erhalten wir seinen Bildpunkt durch die Multiplikation dieser Matrix mit dem Ortsvektor: (100−1)(xy).
Hier sind einige grundlegende Transformationen zusammen mit ihren Matrizen, die häufig bei der Zusammensetzung von Transformationen verwendet werden:
- Spiegelung an der x-Achse: (100−1)
- Spiegelung an der y-Achse: (−1001)
- Spiegelung an der Geraden y=x: (0110)
- Spiegelung an der Geraden y=−x: (0−1−10)
- Spiegelung am Ursprung O(0,0) (entspricht einer Drehung um 180∘): (−100−1)
- Drehung um den Ursprung (0,0) um den Winkel θ: (cosθsinθ−sinθcosθ)
- Zentrische Streckung mit dem Zentrum (0,0) und dem Streckfaktor k: (k00k)
Bei einer Verkettung führen wir mehrere Transformationen nacheinander aus. Folgt auf T1 die Transformation T2, schreiben wir T2∘T1. Dabei wird zuerst T1 und anschließend T2 angewendet.
Angenommen, die Matrix, die T1 entspricht, ist M1, und die Matrix, die T2 entspricht, ist M2. Um das Bild des Punktes P(x,y) unter der Komposition T2∘T1 zu finden, gibt es zwei äquivalente Methoden:
-
Transformationen sequenziell auf den Punkt anwenden:
- Berechne das Bild P′(x′,y′) von P(x,y) unter T1: (x′y′)=M1(xy).
- Berechne danach das Bild P′′(x′′,y′′) von P′(x′,y′) unter : .
Setzen wir das Ergebnis aus Schritt (a) in Schritt (b) ein, erhalten wir: (x′′y′′)=M2(M1(xy)).
-
Zuerst die zusammengesetzte Matrix finden:
Beide Methoden liefern aufgrund der assoziativen Eigenschaft der Matrixmultiplikation das gleiche Endbild, d. h. M2(M1P)=(M2M1)P, wobei P der Spaltenvektor (xy) ist.
Angenommen, T1 ist eine Spiegelung an der y-Achse und T2 eine Drehung um den Ursprung O um 21π im Bogenmaß, also 90∘. Gesucht ist das Bild des Punktes P(x,y) unter T2∘T1.
Die Matrix für T1 (Spiegelung an der y-Achse) ist M1=(−1001).
Die Matrix für T2 (Drehung 90∘) ist M2=(cos90∘sin90∘−sin90∘cos90∘)=(01−10).
Methode 1: Sequentielle Transformation auf den Punkt
-
Bild von P(x,y) unter T1:
Also P′(−x,y).
-
Bild von P′(−x,y) unter T2:
-
Das endgültige Bild ist P′′(−y,−x).
Methode 2: Zuerst zusammengesetzte Matrix
-
Zusammengesetzte Matrix M=M2M1:
-
Bild von P(x,y) unter M:
-
Das endgültige Bild ist P′′(−y,−x).
Beide Methoden liefern das gleiche Ergebnis. Die Verwendung der zusammengesetzten Matrix (M2M1) ist oft effizienter, wenn wir viele Punkte mit derselben Zusammensetzung transformieren müssen.
Angenommen, die Matrizen, die sich auf die Transformationen T1 und T2 beziehen, sind M1=(prqs) bzw. M2=(tvuw).
Dann ist die Matrix, die sich auf die Zusammensetzung der Transformationen T2∘T1 (Transformation T1 gefolgt von T2) bezieht, M2M1=(tvuw)(prqs).
Die Reihenfolge der Matrixmultiplikation ist entscheidend: Rechts steht die Matrix der zuerst ausgeführten Transformation M1.
Bestimme das Bild des Punktes (2,5), der zuerst an der x-Achse und danach an der y-Achse gespiegelt wird.
Sei T1 die Spiegelung an der x-Achse und T2 die Spiegelung an der y-Achse.
Die Matrix für T1 (M1) ist (100−1).
Die Matrix für T2 (M2) ist (−1001).
Die Zusammensetzung der Transformationen T2∘T1 hat die Matrix M=M2M1.
Das Bild des Punktes (2,5) ist:
Das Bild des Punktes ist also (−2,−5).
Bestimme das Bild des Punktes (−2,3) nach einer Spiegelung an der y-Achse und einer anschließenden Drehung um 180∘ um den Ursprung.
Sei T1 die Spiegelung an der y-Achse und T2 die 180∘-Drehung um den Ursprung.
Die Matrix für T1 (M1) ist (−1001).
Die Matrix für T2 (M2) ist (cos180∘sin180∘−sin180∘cos180∘)=(−100−1).
Die Zusammensetzung der Transformationen T2∘T1 hat die Matrix M=M2M1.
Das Bild des Punktes (−2,3) ist:
Das Bild des Punktes ist also (−2,−3).
Auf den Punkt P(2,5) werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der x-Achse, eine Drehung um 90∘ um den Ursprung und eine weitere Drehung um 180∘ um den Ursprung. Bestimme den Bildpunkt.
-
T1: Spiegelung an der x-Achse.
Matrix M1=(100−1)
-
T2: Drehung um 90∘ um den
Ursprung.
Matrix M2=(cos90∘sin90∘−sin90∘cos90∘)=(01−10)
-
T3: Halbe Umdrehung, also eine Drehung um 180∘
um den Ursprung.
Matrix M3=(cos180∘sin180∘−sin180∘cos180∘)=(−100−1)
Die Verkettung lautet T3∘T2∘T1. Ihre Matrix ist M=M3M2M1.
Das Bild von P(2,5) ist:
Das Bild des Punktes ist also (−5,−2).
Auf den Punkt P(2,5) werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der y-Achse, eine Drehung um 180∘ um den Ursprung und eine Spiegelung an der Geraden y=x. Bestimme den Bildpunkt.
-
T1: Spiegelung an der y-Achse.
Matrix M1=(−1001).
-
T2: Drehung um 180∘ um den
Ursprung.
Matrix M2=(−100−1).
-
T3: Spiegelung an der Geraden y=x
.
Matrix M3=(0110)
Die Verkettung lautet T3∘T2∘T1. Ihre Matrix ist M=M3M2M1.
Schritt 1: Berechne M2M1.
Schritt 2: Berechne M=M3(M2M1).
Das Bild von P(2,5) ist:
Das Bild des Punktes ist also (−5,2).
(x′′y′′)=M2(x′y′) Achte auf die Reihenfolge: Die Matrix der zweiten Transformation M2 steht links von der Matrix der ersten Transformation M1.
Berechne das Bild P′′(x′′,y′′) von P(x,y) mithilfe der verketteten Matrix M: (x′′y′′)=M(xy)=(M2M1)(xy).
