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Die Tabelle enthält die verwendeten Operationen. Drehungen und Streckungen haben darin das Zentrum .
| Transformation | Matrix |
|---|---|
| Spiegelung an waagerechter Achse | |
| Spiegelung an senkrechter Achse | |
| Spiegelung an erster Winkelhalbierenden | |
| Spiegelung an zweiter Winkelhalbierenden | |
| Punktspiegelung am Ursprung oder halbe Drehung | |
| Drehung um | |
| Streckung mit |
Bei wirkt die rechts stehende Transformation zuerst. Berechne für den Spaltenvektor das erste Bild und verwende dieses als Eingabe der zweiten Transformation:
Wegen der Assoziativität darfst du die Klammern verändern, ohne die Reihenfolge zu ändern. Für viele Punkte berechnest du einmal. Bei einem einzelnen Punkt zeigt die schrittweise Form das Zwischenbild.
Anschauliches Beispiel:
Angenommen, ist eine Spiegelung an der -Achse und eine Drehung um den Ursprung um im Bogenmaß, also . Gesucht ist das Bild des Punktes unter .
Die Matrix für (Spiegelung an der -Achse) ist:
Die Matrix für (Drehung ) ist:
Methode 1: Sequentielle Transformation auf den Punkt
Bild von unter :
Also .
Bild von unter :
Das endgültige Bild ist .
Methode 2: Zuerst zusammengesetzte Matrix
Zusammengesetzte Matrix :
Schreibe . Die Indizes geben Zeile und Spalte eines Eintrags an. Für multiplizierst du die passenden Einträge der ersten Zeile der linken Matrix mit denen der zweiten Spalte der rechten Matrix und addierst die Produkte.
Bild von unter :
Das endgültige Bild ist .
Beide Methoden liefern dasselbe Ergebnis. Wenn viele Punkte dieselbe Verkettung verwenden, berechne einmal und wende diese zusammengesetzte Matrix anschließend auf jeden Punkt an.
Wirkt zuerst und danach , kombinierst du Zeilen der zweiten Matrix mit Spalten der ersten. Jeder Ergebniseintrag ist eine Summe aus zwei Produkten:
Vergleiche die Spiegelung an der senkrechten Achse mit einer positiven Vierteldrehung für . Vertauschte Reihenfolgen ergeben verschiedene Endpunkte:
| Reihenfolge | Start | Erstes Bild | Endbild |
|---|---|---|---|
| Spiegeln, dann drehen | |||
| Drehen, dann spiegeln |
Zwei Transformationen zu kombinieren heißt, ihre Matrizen zu multiplizieren, und die Reihenfolge dieses Produkts entscheidet über das Ergebnis. Ein Produkt wird von rechts nach links gelesen, sodass die rechte Transformation zuerst auf den Punkt wirkt und ein Vertauschen der beiden Matrizen meist ein anderes Bild ergibt.
Bestimme das Bild des Punktes , der zuerst an der -Achse und danach an der -Achse gespiegelt wird.
Lösung:
Sei die Spiegelung an der -Achse und die Spiegelung an der -Achse.
Die Matrix für () ist:
Die Matrix für () ist:
Die Zusammensetzung der Transformationen hat die Matrix .
Das Bild des Punktes ist:
Das Bild des Punktes ist also .
Bestimme das Bild des Punktes nach einer Spiegelung an der -Achse und einer anschließenden Drehung um um den Ursprung.
Lösung:
Sei die Spiegelung an der -Achse und die -Drehung um den Ursprung.
Die Matrix für () ist:
Die Matrix für () ist:
Die Zusammensetzung der Transformationen hat die Matrix .
Das Bild des Punktes ist:
Das Bild des Punktes ist also .
Auf den Punkt werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der -Achse, eine Drehung um um den Ursprung und eine weitere Drehung um um den Ursprung. Bestimme den Bildpunkt.
Lösung:
Wir setzen:
: Spiegelung an der -Achse.
Die Matrix lautet:
: Drehung um um den Ursprung.
Die Matrix lautet:
: Halbe Umdrehung, also eine Drehung um um den Ursprung.
Die Matrix lautet:
Die Verkettung lautet . Ihre Matrix ist .
Das Bild von ist:
Das Bild des Punktes ist also .
Auf den Punkt werden nacheinander drei Transformationen angewendet: eine Spiegelung an der -Achse, eine Drehung um um den Ursprung und eine Spiegelung an der Geraden . Bestimme den Bildpunkt in der angegebenen Reihenfolge.
Wir setzen:
: Spiegelung an der -Achse.
Die Matrix lautet:
: Drehung um um den Ursprung.
Die Matrix lautet:
: Spiegelung an der Geraden .
Die Matrix lautet:
Die Verkettung lautet . Ihre Matrix ist .
Schritt 1: Berechne .
Schritt 2: Berechne .
Das Bild von ist:
Das Bild des Punktes ist also .
Prüfe das Matrixprodukt mit Zwischenkoordinaten. Nach jeder Operation erhältst du:
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