Interquartilsabstand

Die Streuung in der mittleren Hälfte des Datensatzes

Das arithmetische Mittel beschreibt die Mitte eines Datensatzes, aber nicht seine Streuung. Zwei Gruppen können dasselbe Durchschnittsalter besitzen, obwohl ihre Alterswerte sehr unterschiedlich verteilt sind.

Der Interquartilsabstand ($\mathrm{IQR}$) misst diese Streuung anhand der mittleren $50\%$ der Daten nach dem Sortieren.

Sehr kleine oder große Werte können die Spannweite dominieren. Einige gelten nach einer ausdrücklich genannten Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als Ausreißer. Der $\mathrm{IQR}$ reagiert weniger empfindlich auf solche Extremwerte, weil er nur die Mitte des Datensatzes betrachtet.

Die Formel lautet:

• $Q_3$ ist das obere Quartil und begrenzt die unteren $75\%$ der Daten.
• $Q_1$ ist das untere Quartil und begrenzt die unteren $25\%$ der Daten.

Der $\mathrm{IQR}$ ist somit die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil.

Altersverteilungen vergleichen

Betrachten wir zwei Gruppen mit gleichem Mittelwert, aber sehr unterschiedlicher Streuung.

Jede Gruppe besteht aus $12 \text{ Personen}$. Die Alterswerte sind bereits sortiert:

Wir vergleichen Mittelwert, Quartile, Spannweite und Interquartilsabstand.

Mittelwert berechnen

In beiden Gruppen ist das Durchschnittsalter genau gleich und beträgt $16 \text{ Jahre}$.

Gruppe 1:

Addiere zuerst alle zwölf Werte und teile dann durch zwölf:

Gruppe 2:

Addiere zuerst alle zwölf Werte und teile die Summe anschließend durch zwölf.

Quartile bestimmen

Wir verwenden die Interpolationskonvention $p(n+1)$. Hier ist $n=12$. Die Positionen des unteren und oberen Quartils sind daher 3,25 und 9,75.

Da die Werte bereits sortiert sind, können wir die Quartilpositionen direkt bestimmen.

Gruppe Eins ($n=12$): Die Position von $Q_1$ ist $\frac{1}{4}(12+1) = 3{,}25$. Damit liegt $Q_1$ zwischen Position $3$ mit dem Wert $15$ und Position $4$ mit dem Wert $15$. Weil beide Werte gleich sind, gilt

Die Position von $Q_3$ ist $\frac{3}{4}(12+1) = 9{,}75$. Damit liegt $Q_3$ zwischen Position $9$ mit dem Wert $17$ und Position $10$ mit dem Wert $17$. Weil beide Werte gleich sind, gilt

Gruppe Zwei ($n=12$): Die Position von $Q_1$ ist $3{,}25$. Sie liegt ein Viertel des Weges von Position $3$ mit dem Wert $4$ zu Position $4$ mit dem Wert $5$. Deshalb interpolieren wir mit dem Gewicht $0{,}25$:

Die Position von $Q_3$ ist $9{,}75$. Sie liegt drei Viertel des Weges von Position $9$ mit dem Wert $28$ zu Position $10$ mit dem Wert $29$. Das Interpolationsgewicht beträgt daher $0{,}75$:

Spannweite und Interquartilsabstand berechnen

Die Spannweite verwendet Maximum und Minimum, der Interquartilsabstand die beiden Quartilgrenzen. Vergleiche die folgenden Rechnungen in Jahren.

Interpretation der Ergebnisse

Die wichtigsten Werte im Überblick:

• Beide Gruppen haben dasselbe Durchschnittsalter von $16$.
• Gruppe Eins hat eine Spannweite von $5$ und einen $\mathrm{IQR}$ von $2$. Die mittleren $50\%$ liegen zwischen $Q_1=15$ und $Q_3=17$ und umfassen damit nur $2\text{ Jahre}$.
• Gruppe Zwei hat eine Spannweite von $35$ und einen $\mathrm{IQR}$ von $24{,}5$. Die mittleren $50\%$ liegen zwischen $Q_1=4{,}25$ und $Q_3=28{,}75$ und umfassen damit $24{,}5\text{ Jahre}$.

Ein gleicher Mittelwert bedeutet also nicht, dass zwei Datensätze ähnlich verteilt sind. Der $\mathrm{IQR}$ zeigt, wie breit die mittlere Hälfte streut, und ergänzt damit Mittelwert und Spannweite besonders dann, wenn Extremwerte vorkommen.