Arithmetisches Mittel

Eine Gesamtsumme gleichmäßig aufteilen

Neben dem Median (mittlerer Wert) und dem Modus (häufigster Wert) ist das arithmetische Mittel, oft einfach Durchschnitt genannt, ein weiteres Maß für die Mitte eines Datensatzes.

Das arithmetische Mittel ist der Wert, den jede Person bekäme, wenn wir die Gesamtsumme gleichmäßig verteilen. Stell dir vor, ihr legt alle Süßigkeiten aus einer Gruppe zusammen und teilt sie anschließend gerecht auf. Die Anzahl pro Person ist dann das arithmetische Mittel.

So berechnest du das arithmetische Mittel

Gehe in zwei Schritten vor:

1. Addiere alle Datenwerte.
2. Teile die Summe durch die Anzahl der Werte.

Mittelwertformel:

Die Größen in dieser Formel bedeuten:

• $\bar{x}$, gesprochen „x quer“, steht für das arithmetische Mittel.
• $\sum x$, gesprochen „Sigma x“, steht für die Summe aller Datenwerte.
• $n$ ist die Anzahl der Datenwerte.

Einfluss großer Werte auf Mittelwert Median und Modus

Mit demselben Datensatz vergleichen wir arithmetisches Mittel, Median und Modus, bevor und nachdem zwei ungewöhnlich große Werte hinzukommen. Die drei Lagemaße reagieren unterschiedlich, der Vergleich zeigt also, welches Maß den typischen Wert weiterhin beschreibt.

Kleideraktion der Schülervertretung

Ausgangssituation:

Zehn Mitglieder der Schülervertretung von Schule A sammeln gut erhaltene Kleidung für eine Hilfsaktion. So viele Kleidungsstücke bringt jedes Mitglied mit:

Arithmetisches Mittel, Median und Modus der Ausgangsdaten:

1. Sortiere die Daten (für Median und Modus):

   $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ (insgesamt $10 \text{ Datenwerte}$, also $n = 10$)

2. Berechne das arithmetische Mittel:

   $$\begin{aligned} \sum x &= 3+3+4+5+5 \\ &\quad+6+7+8+9+10 \\ &= 60 \end{aligned}$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{60}{10} = 6$$

   Das arithmetische Mittel der Ausgangsdaten beträgt $6$.

3. Bestimme den Median:

   Die Anzahl der Datenwerte ist gerade ($n = 10$). Deshalb liegen die beiden mittleren Werte an den Positionen $10/2 = 5$ und $(10/2)+1 = 6$.

   An Position $5$ steht $5$, an Position $6$ steht $6$.

   $$\text{Median} = \frac{5+6}{2} = 5{,}5$$

   Der Median der Ausgangsdaten beträgt somit $5{,}5$.

4. Bestimme den Modus:

   Am häufigsten kommen $3$ ($2 \text{ Mal}$) und $5$ ($2 \text{ Mal}$) vor.

   Die Ausgangsdaten besitzen also die beiden Modi $3$ und $5$. Eine solche Verteilung heißt bimodal.

Neue Situation:

Am nächsten Tag beteiligen sich $2 \text{ weitere Mitglieder}$. Sie bringen $20$ beziehungsweise $22$ Kleidungsstücke mit.

Der neue Datensatz lautet:

Arithmetisches Mittel, Median und Modus des neuen Datensatzes:

1. Sortiere die Daten:

   $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 22$ (insgesamt $12 \text{ Datenwerte}$, also $n = 12$)

2. Berechne das neue arithmetische Mittel:

   $$\sum x = 60 + 20 + 22 = 102$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{102}{12} = 8{,}5$$

   Das neue arithmetische Mittel beträgt $8{,}5$.

3. Bestimme den neuen Median:

   Die Anzahl der Datenwerte ist wieder gerade ($n=12$). Die beiden mittleren Werte liegen an den Positionen $12/2 = 6$ und $(12/2)+1 = 7$.

   An Position $6$ steht $6$, an Position $7$ steht $7$.

   $$\text{Median} = \frac{6+7}{2} = 6{,}5$$

   Der neue Median beträgt somit $6{,}5$.

4. Bestimme den neuen Modus:

   Am häufigsten kommen weiterhin $3$ ($2 \text{ Mal}$) und $5$ ($2 \text{ Mal}$) vor.

   Die Modi bleiben daher $3$ und $5$.

Einfluss der zusätzlichen Daten

Vergleichen wir die drei Lagemaße vor und nach der Ergänzung:

Die zusätzlichen Werte $20$ und $22$ liegen deutlich über den Ausgangsdaten. Deshalb haben sie den größten Einfluss auf den Mittelwert und ziehen ihn nach oben.

Der Median verschiebt sich ebenfalls, aber weniger stark. Der Modus bleibt unverändert.

Auswirkung eines Extremwerts

Ersetze den Wert des $12$. Mitglieds durch $100 \text{ Kleidungsstücke}$. Die neue Berechnung zeigt den Einfluss dieses ungewöhnlich großen Werts auf das arithmetische Mittel.

Der Datensatz lautet dann: $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$ ($n=12$)

1. Berechne das arithmetische Mittel:

   $$\sum x = 60 + 20 + 100 = 180$$

   $$\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{180}{12} = 15$$

   Das arithmetische Mittel beträgt nun $15$. Damit liegt es weit über dem Ausgangswert $6$ und dem vorherigen Wert $8{,}5$.

2. Bestimme den Median:

   Sortierter Datensatz: $3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 100$

   Der Median bleibt bei $(6+7)/2 = 6{,}5$ und ändert sich gegenüber dem vorherigen Datensatz nicht.

3. Bestimme den Modus:

   Auch die Modi bleiben $3$ und $5$.

Ein Extremwert kann nach einer ausdrücklich genannten statistischen Regel oder aufgrund fachlicher Beurteilung als Ausreißer gelten. In diesem Beispiel verändert das Ersetzen von $22$ durch $100$ die Summe. Die mittleren Positionen und die größten Häufigkeiten bleiben gleich. Deshalb steigt der Mittelwert, während Median und Modi unverändert bleiben. Wähle das Lagemaß passend zur Größe, die du beschreiben möchtest.