Mittelwert Median oder Modus

Datenart und Verteilung bestimmen das geeignete Lagemaß

Mittelwert, Median und Modus beschreiben jeweils die Mitte eines Datensatzes. Der Mittelwert bezieht alle Werte ein, der Median richtet sich nach der mittleren Position und der Modus nach der größten Häufigkeit. Deshalb beantworten die drei Maße nicht immer dieselbe Frage.

Wähle das Lagemaß nach Datenart, Verteilungsform und Fragestellung. Der Mittelwert ändert sich mit Extremwerten, der Median verwendet die Rangfolge ohne die Abstände zwischen den Werten zu messen und der Modus nennt nur den häufigsten Wert oder die häufigste Kategorie.

Verhalten von Mittelwert Median und Modus

Die Tabelle bündelt diesen Vergleich an einer Stelle. Jede Zeile verwendet die Werte $7, 8, 9, 8, 10$ und danach dieselben Werte mit einer zusätzlichen $1$.

Ein zusätzlicher Wert verändert nicht immer jedes Lagemaß. Bei diesen Daten ändert sich der Mittelwert, während Median und Modus gleich bleiben.

Mittelwert

Addiere alle Datenwerte und teile die Summe durch ihre Anzahl. Weil jeder Wert in die Summe eingeht, ist der Mittelwert sehr empfindlich gegenüber Extremwerten, und ein einzelner sehr großer oder kleiner Wert verschiebt ihn deutlich. Die Testergebnisse $7, 8, 9, 8, 10$ haben den Mittelwert $8{,}4$. Kommt der niedrige Wert $1$ hinzu, ergibt sich $(7+8+9+8+10+1)/6 \approx 7{,}17$, der Mittelwert sinkt also um mehr als einen Punkt.

Median

Sortiere die Daten und bestimme den Wert in der Mitte. Bei einer geraden Anzahl verwendest du den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Der Median hängt von der mittleren Position der geordneten Daten ab. Ändert sich ein Randwert ohne Änderung der Reihenfolge oder der mittleren Werte, bleibt der Median gleich. Ein zusätzlicher Datenwert kann die mittleren Positionen verschieben. Berechne den Median deshalb erneut. Sortiert lautet der Datensatz $7, 8, 9, 8, 10$ als $7, 8, 8, 9, 10$ mit dem Median $8$. Nach dem Ergänzen von $1$ entsteht $1, 7, 8, 8, 9, 10$, die beiden mittleren Werte sind beide $8$, deshalb bleibt der Median $8$.

Modus

Bestimme den Wert oder die Kategorie mit der höchsten Häufigkeit. Ein einzelner Extremwert ändert den Modus normalerweise nicht, und der Modus ist hier das einzige Maß, das auch für qualitative Daten funktioniert. Im Datensatz $7, 8, 9, 8, 10$ ist $8$ der Modus, und der zusätzliche Wert $1$ ändert daran nichts. Bei den Lieblingsfarben Rot, Blau, Rot und Grün ist Rot der Modus.

Entscheidungshilfe

Die folgende Übersicht zeigt, welches Lagemaß zu welcher Fragestellung passt:

Typische Situationen:

• Den Klassendurchschnitt berechnen: Sind die Ergebnisse ohne extreme Ausreißer annähernd gleichmäßig verteilt, beschreibt der Mittelwert die gesamte Klasse sinnvoll.
• Ein typisches Einkommen beschreiben: Einige sehr hohe Einkommen können den Mittelwert stark anheben. Der Median beschreibt dann eher, was für die Mitte der Bevölkerung typisch ist.
• Die meistverkaufte Schuhgröße bestimmen: Gesucht ist die am häufigsten gekaufte Größe. Dafür verwenden wir den Modus.
• Die beliebteste Farbe einer Lerngruppe bestimmen: Farben sind Kategorien. Ihr häufigster Wert lässt sich mit dem Modus angeben.