Quartile für nicht gruppierte Daten

Drei Grenzen teilen die Rangordnung in Viertel

Der Median teilt einen sortierten Datensatz in der Mitte, also bei $50\%$, in zwei Hälften. Quartile verfeinern diese Aufteilung.

Diese Positionen teilen die Verteilung nach Rang in vier Bereiche, die jeweils ungefähr ein Viertel der Beobachtungen repräsentieren. Bei endlichen Daten oder Wertwiederholungen müssen daraus keine vier sichtbar getrennten Gruppen mit exakt gleicher Anzahl entstehen.

Es gibt drei Quartilgrenzen:

1. Unteres Quartil ($Q_1$): Die Grenze bei ungefähr $25\%$ der Rangordnung.
2. Mittleres Quartil ($Q_2$): Der Median bei ungefähr $50\%$ der Rangordnung.
3. Oberes Quartil ($Q_3$): Die Grenze bei ungefähr $75\%$ der Rangordnung.

Zusammen beschreiben $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ das untere Viertel, die Mitte und das obere Viertel einer geordneten Verteilung.

Position der Quartile bestimmen

Wie finden wir nun die Rangpositionen von $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ im sortierten Datensatz?

Wir bezeichnen die Anzahl der aufsteigend sortierten Datenwerte mit $n$.

Für Quartile gibt es mehrere gültige Rangkonventionen. Daher können verschiedene Programme bei kleinen Datensätzen leicht unterschiedliche Werte liefern. Die folgenden Rechnungen verwenden durchgehend die interpolierte Position $p(n+1)$ mit $p$ gleich $\frac14$, $\frac12$ oder $\frac34$. Eine Position unter $1$ wird auf das Minimum und eine Position über $n$ auf das Maximum begrenzt. Für einen sinnvollen Vergleich müssen die Ergebnisse mit derselben Konvention berechnet worden sein.

Unteres Quartil

Für das untere Quartil gilt:

• Ist das Ergebnis ganzzahlig, zum Beispiel $5$, entspricht $Q_1$ dem Wert an Position $5$.
• Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen, zum Beispiel bei $5{,}25$, befindet sich $Q_1$ zwischen Position $5$ und Position $6$. Der Nachkommateil gibt an, wie weit wir vom Wert an der unteren Position zum nächsten Wert gehen.

Beispiel:

Nehmen wir $20$ Datenwerte an ($n=20$).

Die Position von $Q_1$ ergibt sich aus $\frac{1}{4}(20+1)$. Das entspricht $\frac{21}{4}$, also Position $5{,}25$.

Damit liegt $Q_1$ zwischen Position $5$ und Position $6$.

Angenommen, bei diesen 20 sortierten Beobachtungen ist der fünfte Wert 8 und der sechste 12. Das Interpolationsgewicht 0,25 nimmt ein Viertel der Differenz zwischen beiden Werten, nicht einfach deren Mittelwert.

Mittleres Quartil

Das mittlere Quartil ist zugleich der Median:

Es gelten dieselben Regeln wie für $Q_1$:

• Ist das Ergebnis ganzzahlig, etwa $10$, entspricht $Q_2$ dem Wert an Position $10$.
• Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen, etwa bei $10{,}5$, befindet sich $Q_2$ zwischen Position $10$ und Position $11$.

Beispiel mit $n=20$:

Die Position von $Q_2$ ergibt sich aus $\frac{1}{2}(20+1)$. Das entspricht $\frac{21}{2}$, also Position $10{,}5$.

Damit liegt $Q_2$, also der Median, zwischen Position $10$ und Position $11$.

Oberes Quartil

Für das obere Quartil gilt entsprechend:

Auch hier gelten dieselben Regeln:

• Ist das Ergebnis ganzzahlig, etwa $15$, entspricht $Q_3$ dem Wert an Position $15$.
• Liegt das Ergebnis zwischen zwei Positionen, etwa bei $15{,}75$, befindet sich $Q_3$ zwischen Position $15$ und Position $16$.

Beispiel mit $n=20$:

Die Position von $Q_3$ ergibt sich aus $\frac{3}{4}(20+1)$. Das entspricht $\frac{63}{4}$, also Position $15{,}75$.

Damit liegt $Q_3$ zwischen Position $15$ und Position $16$.

Übung mit Lösung

Bestimme die Positionen von $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ für die Mathematiknoten dieser $7$ Schülerinnen und Schüler:

Ergebnisse: $7, 5, 8, 6, 9, 7, 10$

Versuche die Aufgabe zunächst selbst. Vergleiche deinen Lösungsweg danach mit der vollständigen Rechnung.

Schritt 1: Sortiere zuerst die Daten.

Anzahl der Datenpunkte: $n = 7$

Schritt 2: Berechne die Quartilpositionen mit den Formeln.

• Position von $Q_1$:

  $$\begin{aligned}\frac{1}{4}(n+1) &= \frac{1}{4}(7+1) \\ &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}$$

  Das Ergebnis ist ganzzahlig ($2$). Deshalb liegt $Q_1$ an Position $2$.

• Position von $Q_2$ (Median):

  $$\begin{aligned}\frac{1}{2}(n+1) &= \frac{1}{2}(7+1) \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}$$

  Das Ergebnis ist ganzzahlig ($4$). Deshalb liegt $Q_2$ an Position $4$.

• Position von $Q_3$:

  $$\begin{aligned}\frac{3}{4}(n+1) &= \frac{3}{4}(7+1) \\ &= \frac{24}{4} \\ &= 6\end{aligned}$$

  Das Ergebnis ist ganzzahlig ($6$). Deshalb liegt $Q_3$ an Position $6$.

Schritt 3: Lies die Quartilwerte ab.

Mit dem sortierten Datensatz aus Schritt 1:

• $Q_1$ liegt an Position $2$ und hat den Wert $6$.
• $Q_2$ liegt an Position $4$ und hat den Wert $7$.
• $Q_3$ liegt an Position $6$ und hat den Wert $9$.

Das vierte Quartil

Wenn es $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$ gibt, liegt die Frage nach $Q_4$ nahe.

Quartile teilen die Daten in vier Bereiche. $Q_1$ markiert die Grenze bei $25\%$, $Q_2$ als Median die Grenze bei $50\%$ und $Q_3$ die Grenze bei $75\%$. Die äußere Grenze bei $100\%$ entspricht dem Maximum des Datensatzes.

Man könnte dieses Maximum als $Q_4$ bezeichnen, der Ausdruck $Q_4$ wird in der üblichen statistischen Darstellung jedoch kaum verwendet. Im Mittelpunkt stehen $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$, weil sie die innere Verteilung des Datensatzes beschreiben. Das Minimum wird gelegentlich $Q_0$ genannt. Wie $Q_4$ ist auch diese äußere Grenze deutlich seltener als $Q_1$, $Q_2$ und $Q_3$.