Drei Grenzen teilen die Rangordnung in Viertel
Der Median teilt einen sortierten Datensatz in der Mitte, also bei , in zwei Hälften. verfeinern diese Aufteilung.
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Diese Positionen teilen die Verteilung nach Rang in vier Bereiche, die jeweils ungefähr ein Viertel der Beobachtungen repräsentieren. Bei endlichen Daten oder Wertwiederholungen müssen daraus keine vier sichtbar getrennten Gruppen mit exakt gleicher Anzahl entstehen.
Es gibt drei Quartilgrenzen:
Zusammen beschreiben , und das untere Viertel, die Mitte und das obere Viertel einer geordneten Verteilung.
Wie finden wir nun die Rangpositionen von , und im sortierten Datensatz?
Wir bezeichnen die Anzahl der aufsteigend sortierten Datenwerte mit .
Für Quartile gibt es mehrere gültige Rangkonventionen. Daher können verschiedene Programme bei kleinen Datensätzen leicht unterschiedliche Werte liefern. Die folgenden Rechnungen verwenden durchgehend die interpolierte Position mit gleich , oder . Eine Position unter wird auf das Minimum und eine Position über auf das Maximum begrenzt. Für einen sinnvollen Vergleich müssen die Ergebnisse mit derselben Konvention berechnet worden sein.
Für das untere Quartil gilt:
Beispiel:
Nehmen wir Datenwerte an ().
Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position .
Damit liegt zwischen Position und Position .
Angenommen, bei diesen 20 sortierten Beobachtungen ist der fünfte Wert 8 und der sechste 12. Das Interpolationsgewicht 0,25 nimmt ein Viertel der Differenz zwischen beiden Werten, nicht einfach deren Mittelwert.
Das mittlere Quartil ist zugleich der Median:
Es gelten dieselben Regeln wie für :
Beispiel mit :
Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position .
Damit liegt , also der Median, zwischen Position und Position .
Für das obere Quartil gilt entsprechend:
Auch hier gelten dieselben Regeln:
Beispiel mit :
Die Position von ergibt sich aus . Das entspricht , also Position .
Damit liegt zwischen Position und Position .
Bestimme die Positionen von , und für die Mathematiknoten dieser Schülerinnen und Schüler:
Ergebnisse:
Versuche die Aufgabe zunächst selbst. Vergleiche deinen Lösungsweg danach mit der vollständigen Rechnung.
Schritt 1: Sortiere zuerst die Daten.
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 5 | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Anzahl der Datenpunkte:
Schritt 2: Berechne die Quartilpositionen mit den Formeln.
Position von :
Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position .
Position von (Median):
Position von :
Schritt 3: Lies die Quartilwerte ab.
Mit dem sortierten Datensatz aus Schritt 1:
Wenn es , und gibt, liegt die Frage nach nahe.
Quartile teilen die Daten in vier Bereiche. markiert die Grenze bei , als Median die Grenze bei und die Grenze bei . Die äußere Grenze bei entspricht dem Maximum des Datensatzes.
Man könnte dieses Maximum als bezeichnen, der Ausdruck wird in der üblichen statistischen Darstellung jedoch kaum verwendet. Im Mittelpunkt stehen , und , weil sie die innere Verteilung des Datensatzes beschreiben. Das Minimum wird gelegentlich genannt. Wie ist auch diese äußere Grenze deutlich seltener als , und .
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Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position .
Das Ergebnis ist ganzzahlig (). Deshalb liegt an Position .