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Zwei gängige Streuungsmaße sind Varianz und Standardabweichung.
Die Varianz mittelt die Abstände vom Mittelwert. Die Standardabweichung zieht daraus die Quadratwurzel und hat dadurch wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.
Varianz ()
Ziehe von jedem Beobachtungswert den Mittelwert ab, quadriere jede Differenz und bilde anschließend den Mittelwert dieser Quadrate.
Die Formel lautet:
Dabei gilt:
Standardabweichung ()
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Im Gegensatz zur Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Originaldaten.
Die Formel lautet:
Diese Formeln verwenden die Symbole der Grundgesamtheit und teilen durch die vollständige Anzahl der Beobachtungen. Für eine Stichprobe ist die entsprechende Stichprobenvarianz zu verwenden.
Betrachte zwei Gruppen von Alterswerten. Beide haben den gleichen Mittelwert (), nämlich , unterscheiden sich aber deutlich in ihrer Streuung.
Wir berechnen die Populationsvarianz und Standardabweichung jeder Gruppe.
Berechne für jeden Wert in Gruppe , wobei gilt:
Addiere die quadrierten Differenzen :
Berechne die Varianz:
Berechne die Standardabweichung:
Wiederhole die Berechnung von für Gruppe , wieder mit :
Addiere die quadrierten Differenzen :
Berechne die Varianz:
Berechne die Standardabweichung:
Die Werte in Gruppe liegen dicht um den Mittelwert . Die Werte in Gruppe streuen deutlich weiter um denselben Mittelwert .
Eine äquivalente Rechenformel kann für einen Taschenrechner oder Computer praktisch sein:
Teile zuerst die Summe der quadrierten Werte durch . Ziehe anschließend das Quadrat des Mittelwerts ab.
Berechne mit dieser Formel die Varianz von Gruppe noch einmal:
Berechne für Gruppe :
Berechne für Gruppe :
Setze die Werte in die alternative Formel ein:
Das Ergebnis stimmt genau mit der ersten Methode überein: .
Wir kennen auch .
