Streuung gruppierter Daten beschreiben
Eine gruppierte Häufigkeitstabelle kann zeigen, wie viele Akkulaufzeiten in Intervalle wie und fallen. Trotzdem möchten wir beschreiben, wie stark die Laufzeiten streuen.
Nakafa
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Die Tabelle enthält nicht mehr jeden genauen Beobachtungswert. Im Intervall wissen wir zum Beispiel nicht, ob ein Akku , oder eine andere Zeit durchgehalten hat.
Für eine Näherung ersetzen wir jeden Wert einer Klasse durch die Klassenmitte . Die so berechnete Varianz und Standardabweichung schätzen die Werte der ursprünglichen Daten vor der Gruppierung.
Jede Klassenmitte wird mit ihrer Klassenhäufigkeit gewichtet. Die folgenden Formeln behandeln die Tabelle als vollständige Grundgesamtheit. Bei einer Stichprobe verwendest du die passende Stichprobenvarianz.
Wir behandeln die Beobachtungen als vollständige Grundgesamtheit. Die Varianz hat quadrierte Einheiten. Die Quadratwurzel stellt die ursprüngliche Einheit wieder her, sodass du die Standardabweichung direkt mit einem Beobachtungswert vergleichen kannst.
Für gruppierte Daten eignet sich folgende Rechenformel:
Der erste Term ist der nach Häufigkeiten gewichtete Mittelwert der quadrierten Klassenmitten. Der zweite Term ist das Quadrat des gewichteten Mittelwerts. Die Differenz ergibt die geschätzte Varianz der Grundgesamtheit.
Wie bei nicht gruppierten Daten ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz:
Nehmen wir an, die Akkulaufzeiten werden auf ganze Stunden gerundet und dann in folgende Intervalle eingeordnet. Die erste Klasse enthält somit die erfassten Werte 6, 7, 8, 9 und 10 Stunden.
| Akkulaufzeit (Stunden) | Häufigkeit () |
|---|---|
Gesucht sind die geschätzte Varianz und Standardabweichung dieser Grundgesamtheit.
Berechne für jede Klasse zuerst die Klassenmitte und anschließend sowie .
| Akkulaufzeit (Stunden) | Klassenmitte, | Häufigkeit, | ||
|---|---|---|---|---|
Setze die Summen aus der Tabelle in die Varianzformel ein:
Die geschätzte Varianz beträgt Quadratstunden. Die Einheit wird quadriert, weil jeder Abstand vom Mittelwert vor dem Mitteln quadriert wird.
Ziehe die Quadratwurzel der Varianz:
Die geschätzte Standardabweichung beträgt . Vom geschätzten Mittelwert weichen die Laufzeiten im quadratischen Mittel etwa ab.
Bei gleicher Einheit und vergleichbarer Skala bedeutet eine kleinere Standardabweichung, dass die Werte enger um ihren Mittelwert liegen.
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| Gesamt |