Integrale in Wirtschaft und Unternehmen

Aus Änderungsraten Absatzmengen und Kosten berechnen

Viele wirtschaftliche Größen werden als Änderungsrate angegeben, etwa verkaufte Stück pro Monat oder zusätzliche Kosten pro produzierter Einheit. Ein Integral $summiert solche kleinen Änderungen zu einer Gesamtgröße$ über einen Zeitraum oder eine Produktionsmenge.

Ist beispielsweise eine Absatzrate als Funktion der Zeit bekannt, liefert ihr Integral die insgesamt verkaufte Stückzahl im betrachteten Zeitraum.

Die waagerechte Achse zeigt die Integrationsvariable: Zeit bei einer Absatzrate oder Produktionsmenge bei Grenzkosten. Die $Einheit des Integrals$ ergibt sich aus dem Produkt der Einheiten beider Achsen.

Integrierte Größe	Integrationsvariable	Ergebnis
Stück pro Monat	Monate	Verkaufte Stückzahl
Tausend Rupiah pro Stück	Produzierte Stückzahl	Tausend Rupiah
Tausend Rupiah pro Monat	Monate	Tausend Rupiah

Verkaufsanalyse mit Integralen

Ein Technologieunternehmen bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Die monatliche Absatzrate wird mit $f(t) = 2000\sqrt{t + 1} + 800 \text{ Einheiten}$ pro Monat modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Monaten seit der Markteinführung.

Gesucht ist der $Gesamtabsatz$ in den ersten $3 \text{ Monaten}$ . Dazu integrieren wir die Absatzrate:

S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt

Das Integral wird in zwei Summanden zerlegt:

S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt

Für den Wurzelausdruck eignet sich die Substitution $u = t + 1$ mit $du = dt$ . Die Integrationsgrenzen werden dabei ebenfalls in die neue Variable umgerechnet.

S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400

Das kontinuierliche Modell liefert für die ersten $3 \text{ Monate}$ den Wert $S = \frac{35200}{3} \approx 11733{,}33$ . Als ganze Geräte sind das ungefähr $11733$ Smartphones.

Analyse des Umsatzwachstums

Ein zweites Modell beschreibt die Umsatzwachstumsrate eines Technologie-Startups durch $R'(t) = 5000e^{0{,}1t}$ Tausend Rupiah pro Monat. Dabei wird $t$ in Monaten gemessen.

Um die $gesamte Umsatzsteigerung$ in den ersten $6 \text{ Monaten}$ zu berechnen, integrieren wir die Wachstumsrate:

Schreibe die Zunahme als $\Delta R=R(6)-R(0)$ . Den Anfangsumsatz brauchst du nicht, um $seine Änderung$ zu berechnen.

\Delta R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt

Mit $e^{0{,}6} \approx 1{,}822$ beträgt die gesamte Umsatzsteigerung ungefähr $50000 \times 0{,}822 = 41100$ Tausend Rupiah, also $41{,}1 \text{ Millionen}$ Rupiah.

Gesamtproduktionskosten

In der Wirtschaft müssen Unternehmen häufig die Produktionskosten schätzen. Angenommen, die Grenzkosten für die Herstellung eines Gutes betragen $MC(x) = 0{,}3x^2 - 12x + 200$ Tausend Rupiah pro Einheit, wobei $x$ die Anzahl der produzierten Einheiten ist.

Wenn das Unternehmen nun die $variablen Gesamtkosten$ für die Produktion der ersten $20 \text{ Einheiten}$ wissen möchte, integriert es einfach die Grenzkostenfunktion:

VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx

Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:

VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}

Unter der Annahme $VC(0)=0$ betragen die variablen Gesamtkosten für $20 \text{ Einheiten}$ somit $2{,}4 \text{ Millionen}$ Rupiah. Fixkosten sind davon getrennt und in diesem Integral nicht enthalten.

In wirtschaftlichen Anwendungen wandeln Integrale Grenzgrößen oder Änderungsraten in Gesamtgrößen um. So wird aus Grenzkosten beispielsweise die Änderung der Gesamtkosten.

Analyse der Konsumentenrente

Auch die Konsumentenrente lässt sich mit einem Integral bestimmen. Gegeben sind die Nachfragefunktion $P = 100 - 0{,}5Q$ und der Gleichgewichtspreis $60 \text{ Rupiah pro Einheit}$ . Die zugehörige Gleichgewichtsmenge auf dieser Nachfragekurve folgt aus:

\begin{aligned} &60=100-0{,}5Q \\ &\Longrightarrow \\ &Q=80 \end{aligned}

Die Konsumentenrente summiert für die $80$ gehandelten Einheiten die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft laut Nachfragekurve und dem tatsächlich gezahlten Marktpreis:

\begin{aligned} CS &= \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ \\ &= \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ \end{aligned}

Nach der Auswertung:

CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}

Die Konsumentenrente von $1600 \text{ Rupiah}$ misst den gesamten monetären Vorteil der Käufer gegenüber dem Gleichgewichtspreis.

Die Preisdifferenz bildet ein $Dreieck$ : Bei $Q=0$ beträgt seine Höhe $40$ Rupiah pro Stück, bei $Q=80$ ist sie null. Prüfe das Integral mit der Dreiecksfläche:

CS=\frac12(80)(100-60)=1600

Übungen

In jeder Aufgabe ist eine Rate wie Grenzkosten oder Grenzerlös gegeben und die kumulierte Größe gesucht, deshalb $integrierst du die Rate$ über das angegebene Intervall und liest das Ergebnis in den ursprünglichen Einheiten.

Ein Unternehmen hat die Absatzrate $f(t) = 1000 + 500t \text{ Einheiten}$ pro Monat. Berechne den Gesamtabsatz in den ersten $6 \text{ Monaten}$ .
Die Grenzkosten eines Produkts betragen $MC(x) = 2x + 50$ Tausend Rupiah pro Einheit. Bestimme die variablen Gesamtkosten für $25 \text{ Einheiten}$ .
Die Investitionswachstumsrate lautet $I'(t) = 2000e^{0{,}05t}\text{ Millionen}$ Rupiah pro Jahr. Berechne das gesamte Investitionswachstum in $4 \text{ Jahren}$ .

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Integriere die $Absatzrate$ vom Zeitpunkt null bis zum Ende des sechsten Monats. Einheiten pro Monat mal Monate ergeben die Anzahl der verkauften Einheiten.

S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt

Das Ergebnis ist:

S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}

Der Gesamtabsatz in $6 \text{ Monaten}$ beträgt $15{.}000 \text{ Einheiten}$ .

$Aufgabe 2$ . Integriere die $Grenzkostenfunktion$ von null bis 25 produzierten Einheiten. Da die Grenzkosten in Tausend Rupiah pro Einheit angegeben sind, erhältst du das Integral in Tausend Rupiah.

VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx

Nach der Auswertung:

VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}

Die gesamten variablen Kosten betragen $1{.}875$ Tausend Rupiah oder $1{,}875 \text{ Millionen}$ Rupiah.

Mit $VC(0)=0$ entspricht das Ergebnis den variablen Kosten. Eventuelle Fixkosten werden getrennt addiert.

$Aufgabe 3$ . Summiere die Investitionsrate über vier Jahre. Bei der Stammfunktion der Exponentialfunktion teilst du durch den Zeitkoeffizienten $0{,}05$ .

\Delta I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt

Das Ergebnis ist:

\Delta I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}

Das gesamte $Investitionswachstum$ in $4 \text{ Jahren}$ beträgt ungefähr $8{,}86 \text{ Milliarden Rupiah}$ .

Aus Änderungsraten Absatzmengen und Kosten berechnen

Ist beispielsweise eine Absatzrate als Funktion der Zeit bekannt, liefert ihr Integral die insgesamt verkaufte Stückzahl im betrachteten Zeitraum.

Integrierte Größe	Integrationsvariable	Ergebnis
Stück pro Monat	Monate	Verkaufte Stückzahl
Tausend Rupiah pro Stück	Produzierte Stückzahl	Tausend Rupiah
Tausend Rupiah pro Monat	Monate	Tausend Rupiah

Verkaufsanalyse mit Integralen

Gesucht ist der $Gesamtabsatz$ in den ersten $3 \text{ Monaten}$ . Dazu integrieren wir die Absatzrate:

S = \int_{0}^{3} (2000\sqrt{t + 1} + 800) \, dt

Das Integral wird in zwei Summanden zerlegt:

S = \int_{0}^{3} 2000\sqrt{t + 1} \, dt + \int_{0}^{3} 800 \, dt

Für den Wurzelausdruck eignet sich die Substitution $u = t + 1$ mit $du = dt$ . Die Integrationsgrenzen werden dabei ebenfalls in die neue Variable umgerechnet.

S = 2000 \int_{1}^{4} u^{1/2} \, du + 2400

Das kontinuierliche Modell liefert für die ersten $3 \text{ Monate}$ den Wert $S = \frac{35200}{3} \approx 11733{,}33$ . Als ganze Geräte sind das ungefähr $11733$ Smartphones.

Analyse des Umsatzwachstums

Ein zweites Modell beschreibt die Umsatzwachstumsrate eines Technologie-Startups durch $R'(t) = 5000e^{0{,}1t}$ Tausend Rupiah pro Monat. Dabei wird $t$ in Monaten gemessen.

Um die $gesamte Umsatzsteigerung$ in den ersten $6 \text{ Monaten}$ zu berechnen, integrieren wir die Wachstumsrate:

Schreibe die Zunahme als $\Delta R=R(6)-R(0)$ . Den Anfangsumsatz brauchst du nicht, um $seine Änderung$ zu berechnen.

\Delta R = \int_{0}^{6} 5000e^{0{,}1t} \, dt

Mit $e^{0{,}6} \approx 1{,}822$ beträgt die gesamte Umsatzsteigerung ungefähr $50000 \times 0{,}822 = 41100$ Tausend Rupiah, also $41{,}1 \text{ Millionen}$ Rupiah.

Gesamtproduktionskosten

Wenn das Unternehmen nun die $variablen Gesamtkosten$ für die Produktion der ersten $20 \text{ Einheiten}$ wissen möchte, integriert es einfach die Grenzkostenfunktion:

VC = \int_{0}^{20} (0{,}3x^2 - 12x + 200) \, dx

Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:

VC = \left[0{,}1x^3 - 6x^2 + 200x\right]_{0}^{20}

In wirtschaftlichen Anwendungen wandeln Integrale Grenzgrößen oder Änderungsraten in Gesamtgrößen um. So wird aus Grenzkosten beispielsweise die Änderung der Gesamtkosten.

Analyse der Konsumentenrente

\begin{aligned} &60=100-0{,}5Q \\ &\Longrightarrow \\ &Q=80 \end{aligned}

Die Konsumentenrente summiert für die $80$ gehandelten Einheiten die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft laut Nachfragekurve und dem tatsächlich gezahlten Marktpreis:

\begin{aligned} CS &= \int_{0}^{80} (100 - 0{,}5Q - 60) \, dQ \\ &= \int_{0}^{80} (40 - 0{,}5Q) \, dQ \end{aligned}

Nach der Auswertung:

CS = \left[40Q - 0{,}25Q^2\right]_{0}^{80}

Die Konsumentenrente von $1600 \text{ Rupiah}$ misst den gesamten monetären Vorteil der Käufer gegenüber dem Gleichgewichtspreis.

Die Preisdifferenz bildet ein $Dreieck$ : Bei $Q=0$ beträgt seine Höhe $40$ Rupiah pro Stück, bei $Q=80$ ist sie null. Prüfe das Integral mit der Dreiecksfläche:

CS=\frac12(80)(100-60)=1600

Übungen

Ein Unternehmen hat die Absatzrate $f(t) = 1000 + 500t \text{ Einheiten}$ pro Monat. Berechne den Gesamtabsatz in den ersten $6 \text{ Monaten}$ .
Die Grenzkosten eines Produkts betragen $MC(x) = 2x + 50$ Tausend Rupiah pro Einheit. Bestimme die variablen Gesamtkosten für $25 \text{ Einheiten}$ .
Die Investitionswachstumsrate lautet $I'(t) = 2000e^{0{,}05t}\text{ Millionen}$ Rupiah pro Jahr. Berechne das gesamte Investitionswachstum in $4 \text{ Jahren}$ .

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Integriere die $Absatzrate$ vom Zeitpunkt null bis zum Ende des sechsten Monats. Einheiten pro Monat mal Monate ergeben die Anzahl der verkauften Einheiten.

S = \int_{0}^{6} (1000 + 500t) \, dt

Das Ergebnis ist:

S = \left[1000t + 250t^2\right]_{0}^{6}

Der Gesamtabsatz in $6 \text{ Monaten}$ beträgt $15{.}000 \text{ Einheiten}$ .

VC = \int_{0}^{25} (2x + 50) \, dx

Nach der Auswertung:

VC = \left[x^2 + 50x\right]_{0}^{25}

Die gesamten variablen Kosten betragen $1{.}875$ Tausend Rupiah oder $1{,}875 \text{ Millionen}$ Rupiah.

Mit $VC(0)=0$ entspricht das Ergebnis den variablen Kosten. Eventuelle Fixkosten werden getrennt addiert.

$Aufgabe 3$ . Summiere die Investitionsrate über vier Jahre. Bei der Stammfunktion der Exponentialfunktion teilst du durch den Zeitkoeffizienten $0{,}05$ .

\Delta I = \int_{0}^{4} 2000e^{0{,}05t} \, dt

Das Ergebnis ist:

\Delta I = 2000 \left[\frac{e^{0{,}05t}}{0{,}05}\right]_{0}^{4}

Das gesamte $Investitionswachstum$ in $4 \text{ Jahren}$ beträgt ungefähr $8{,}86 \text{ Milliarden Rupiah}$ .