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Viele wirtschaftliche Größen werden als Änderungsrate angegeben, etwa verkaufte Stück pro Monat oder zusätzliche Kosten pro produzierter Einheit. Ein Integral summiert solche kleinen Änderungen zu einer Gesamtgröße über einen Zeitraum oder eine Produktionsmenge.
Ist beispielsweise eine Absatzrate als Funktion der Zeit bekannt, liefert ihr Integral die insgesamt verkaufte Stückzahl im betrachteten Zeitraum.
Dieses Konzept ähnelt der Berechnung der Fläche unter einer Kurve, wobei die horizontale Achse die Zeit und die vertikale Achse die Änderungsrate einer Wirtschaftsgröße darstellt.
Ein Technologieunternehmen bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Das Analyseteam modelliert die Absatzentwicklung nach der Markteinführung.
Die monatliche Absatzrate wird durch pro Monat beschrieben. Dabei ist die Zeit in Monaten seit der Markteinführung.
Gesucht ist der Gesamtabsatz in den ersten . Dazu integrieren wir die Absatzrate:
Zunächst wird das Integral in zwei Summanden zerlegt:
Für den Wurzelausdruck eignet sich die Substitution mit . Die Integrationsgrenzen werden dabei ebenfalls in die neue Variable umgerechnet.
Das kontinuierliche Modell liefert für die ersten den Wert . Als ganze Geräte sind das ungefähr Smartphones.
Betrachten wir nun ein anderes Beispiel. Angenommen, ein Technologie-Startup weist eine Umsatzwachstumsrate auf, die einem exponentiellen Muster von Tausend Dollar pro Monat folgt, wobei die Zeit in Monaten ist.
Um die gesamte Umsatzsteigerung in den ersten zu berechnen, integrieren wir die Wachstumsrate:
Mit beträgt die gesamte Umsatzsteigerung ungefähr Tausend Dollar, also Dollar.
In der Wirtschaft müssen Unternehmen häufig die Produktionskosten schätzen. Angenommen, die Grenzkosten für die Herstellung eines Gutes betragen Tausend Dollar pro Einheit, wobei die Anzahl der produzierten Einheiten ist.
Wenn das Unternehmen nun die variablen Gesamtkosten für die Produktion des ersten wissen möchte, integriert es einfach die Grenzkostenfunktion:
Nach der Integration und Auswertung erhalten wir:
Unter der Annahme betragen die variablen Gesamtkosten für somit Dollar. Fixkosten sind davon getrennt und in diesem Integral nicht enthalten.
In wirtschaftlichen Anwendungen wandeln Integrale Grenzgrößen oder Änderungsraten in Gesamtgrößen um. So wird aus Grenzkosten beispielsweise die Änderung der Gesamtkosten.
Auch die Konsumentenrente lässt sich mit einem Integral bestimmen. Gegeben sind die Nachfragefunktion und der Gleichgewichtspreis . Die zugehörige Gleichgewichtsmenge auf dieser Nachfragekurve folgt aus:
Die Konsumentenrente summiert für die gehandelten Einheiten die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft laut Nachfragekurve und dem tatsächlich gezahlten Marktpreis:
Nach der Auswertung:
Die Konsumentenrente von misst den gesamten monetären Vorteil der Käufer gegenüber dem Gleichgewichtspreis.
Ein Unternehmen hat die Absatzrate pro Monat. Berechne den Gesamtabsatz in den ersten .
Die Grenzkosten eines Produkts betragen Tausend Dollar pro Einheit. Bestimme die variablen Gesamtkosten für .
Die Investitionswachstumsrate lautet Dollar pro Jahr. Berechne das gesamte Investitionswachstum in .
Berechnung des Gesamtabsatzes
Da die Absatzrate gegeben ist, integrieren wir sie über die ersten sechs Monate:
Das Ergebnis ist:
Der Gesamtabsatz in beträgt .
Variable Kosten berechnen
Die variablen Gesamtkosten sind das Integral der Grenzkostenfunktion:
Nach der Auswertung:
Berechnung des Investitionswachstums
Für Exponentialfunktionen integrieren wir:
Die gesamten variablen Kosten betragen Tausend Dollar oder Dollar.
Das Ergebnis ist:
Das gesamte Investitionswachstum in beträgt ungefähr .
