Permutation aller Objekte

Jedes Objekt genau einmal anordnen

Eine $Permutation aller Objekte$ ordnet alle $n$ verschiedenen verfügbaren Objekte an, $verwendet jedes Objekt genau einmal$ und zählt verschiedene Reihenfolgen als verschiedene Anordnungen.

Fünf Schüler sollen sich für ein Foto in einer Reihe aufstellen. Alle fünf erhalten genau einen Platz. Jede andere Reihenfolge zählt als neues Ergebnis.

Vollständige Permutationsformel

Setze $r=n$ in die allgemeine Permutationsformel ein:

nP_n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}

Da alle Objekte verwendet werden:

$(n-n) = 0$ , also wird der Nenner zu $0!$
Nach der mathematischen Definition gilt $0! = 1$
Daher: $\frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!$

Wegen $0!=1$ lautet die Formel für eine vollständige Permutation:

nP_n = n!

Bei drei verschiedenen Objekten A, B und C gibt es zu jeder Wahl der ersten Position zwei Reihenfolgen der übrigen Objekte. Die Tabelle enthält $jede Reihenfolge genau einmal$ .

Erstes Objekt	Vollständige Anordnungen
A	ABC, ACB
B	BAC, BCA
C	CAB, CBA

3!=3\times2\times1=6

Definition der Fakultät

Die Fakultät $n!$ ist das Produkt der positiven ganzen Zahlen von $n$ bis $1$ :

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1

$Nach Definition$ :

$0! = 1$ (nach mathematischer Definition)
$1! = 1$

Alle Objekte verschiedenen Positionen zuordnen

Jede Anordnung unten gibt jedem Objekt $eine eigene Position$ , sodass kein Objekt übrig bleibt und keines doppelt vorkommt. Die Zählung beginnt mit der Anzahl der Objekte und nimmt in jedem Schritt eine Möglichkeit weniger.

Schulorganisation

Vier Lernende besetzen vier Ämter in einer Schülervertretung: Vorsitz, Stellvertretung, Schriftführung und Kassenführung. Jede Person übernimmt $genau ein Amt$ .

Für diese Zuordnung gibt es:

4P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ Anordnungen}

Sitzordnung

Für ein Familienfoto sitzen $6$ Familienmitglieder $in einer Reihe$ auf einem Sofa. Für ihre Sitzordnung gibt es:

6P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \text{ Anordnungen}

Vollständige Permutationen berechnen

Für eine vollständige Permutation von $n$ Objekten:

$Zähle die Objekte$ : Prüfe, ob alle Objekte verwendet werden
$Schreibe die Formel auf$ : Verwende $n!$
$Multipliziere die Faktoren$ : Rechne von $n$ bis $1$
$Prüfe die Arithmetik$ : Berechne das Produkt erneut

Fakultät von Fünf ausmultiplizieren

Multipliziere bei $5!$ in jedem Schritt $einen weiteren Faktor$ :

\begin{aligned}5! &=5\times4\times3\times2\times1\\ &=20\times3\times2\times1\\ &=60\times2\times1\\ &=120\times1=120\end{aligned}

Vollständige und partielle Permutationen

$n$ : Verwendet alle verfügbaren Objekte. $r$ : Verwendet nur einige Objekte.

$Für fünf Bücher$ :

Vollständige Permutation: Die Anordnung von $5 \text{ Büchern}$ in $5 \text{ Positionen}$ auf einem Regal ergibt $5! = 120 \text{ Wege}$
Teilpermutation: Das Auswählen und Anordnen von $3 \text{ Büchern}$ aus $5 \text{ verfügbaren Büchern}$ ergibt $5P_3 = 60 \text{ Wege}$

$Detaillierte Berechnung für Teilpermutation$ :

\begin{aligned}5P_3 &=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}\\ &=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}\\ &=\frac{120}{2}=60\text{ Wege}\end{aligned}

Bei der Permutation von $n$ Elementen aus $n$ Objekten bleiben $keine Objekte übrig$ und $alle Positionen müssen besetzt sein$ .

Übungen

Alle vier Aufgaben ordnen $jedes Objekt$ in einer Zeile an und fragen nach der Anzahl der Reihenfolgen, sodass jede dieselbe Fakultät nutzt.

Ein Fototeam möchte $7 \text{ Modelle}$ für eine Fotosession in einer Reihe aufstellen. Auf wie viele verschiedene Arten können sie die sieben Modelle anordnen?
Bei einem Laufwettbewerb gibt es $5 \text{ Teilnehmer}$ , die ohne Gleichstand ins Ziel kommen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen beim Zieleinlauf gibt es?
Ein Koch möchte $6$ verschiedene Arten von Lebensmitteln in einer geraden Linie auf einem Tisch anordnen. Auf wie viele verschiedene Arten kann er das Essen anrichten?
Eine Bibliothek hat $8 \text{ verschiedene Bücher}$ , die in einem Regal angeordnet werden. Wenn alle Bücher in diesem Regal platziert werden müssen, wie viele mögliche Anordnungen gibt es?

Lösungen

Gegeben: $7 \text{ Modelle}$ werden in einer Reihe angeordnet ( $alle Modelle werden verwendet$ )
$7P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \text{ Wege}$
Gegeben: $5 \text{ Laufteilnehmer}$ mit unterschiedlicher Zielreihenfolge (alle Teilnehmer kommen ins Ziel)
$5P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ mögliche Reihenfolgen}$
Gegeben: $6 \text{ Arten von Lebensmitteln}$ werden in einer geraden Linie angeordnet (alle Lebensmittel angeordnet)
$6P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \text{ Wege}$
Gegeben: $8 \text{ verschiedene Bücher}$ werden auf einem Regal angeordnet (alle Bücher geordnet)
$8P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \text{ Wege}$