For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Addition und Skalarmultiplikation komplexer Zahlen folgen denselben vertrauten Rechenregeln wie bei reellen Zahlen. Mit diesen Regeln lassen sich Ausdrücke umformen und vereinfachen, ohne ihren Wert zu verändern.
Seien , und beliebige komplexe Zahlen und seien und beliebige Skalare (reelle Zahlen).
Die Reihenfolge der Summanden verändert die Summe nicht.
Beispiel:
Bei drei komplexen Zahlen kann die Klammerung geändert werden, ohne dass sich die Summe ändert.
Die komplexe Zahl ist das neutrale Element der Addition. Addiert man sie zu , bleibt unverändert.
Zu jeder komplexen Zahl gibt es die Gegenzahl . Ihre Summe ist .
Beispiel:
Für ist .
Damit gilt .
Die Gruppierung der Skalarmultiplikation hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Eine Summe von Skalaren kann zuerst gebildet oder auf die komplexe Zahl verteilt werden.
Ein Skalar kann über die Addition komplexer Zahlen verteilt werden.
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit dem Skalar verändert die komplexe Zahl nicht.
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit dem Skalar ergibt die komplexe Null.
Diese Eigenschaften können verwendet werden, um Ausdrücke mit komplexen Zahlen zu vereinfachen oder zu beweisen.
Zeige, dass für jede komplexe Zahl die Gleichung gilt.
Lösung:
Fasse die skalaren Koeffizienten mit dem Distributivgesetz zusammen. Nutze anschließend, dass die Multiplikation mit dem Nullskalar null ergibt.
Damit ist bewiesen, dass .
Beweise mithilfe der obigen Eigenschaften, dass für jede komplexe Zahl gilt.
Damit ist bewiesen, dass .
