Eigenschaften der Addition komplexer Zahlen

Komplexe Ausdrücke mit vertrauten Rechenregeln umformen

Addition und Skalarmultiplikation komplexer Zahlen folgen $denselben vertrauten Rechenregeln wie bei reellen Zahlen$ . Mit diesen Regeln lassen sich Ausdrücke umformen und vereinfachen, ohne ihren Wert zu verändern.

Seien $z_1$ , $z_2$ und $z_3$ beliebige komplexe Zahlen und seien $c$ und $d$ beliebige Skalare (reelle Zahlen).

Additionseigenschaften

Die komplexe Addition erfolgt $getrennt für Real- und Imaginärteil$ . Bei reellen Summen darfst du die Reihenfolge und die Klammerung ändern. Deshalb gelten beide Regeln auch für jede komplexe Komponente. Die Vertauschung lässt sich zum Beispiel direkt nachrechnen:

\begin{aligned}(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)&=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \\ &=(x_2+x_1)+i(y_2+y_1) \\ &=(x_2+iy_2)+(x_1+iy_1)\end{aligned}

Eigenschaft	Regel	Rechenbeispiel
Kommutativ	$z_1+z_2=z_2+z_1$	$(2+i)+(1-3i)=3-2i=(1-3i)+(2+i)$
Assoziativ	$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$	$((2+i)+(1-3i))+(-1+2i)=2=(2+i)+((1-3i)+(-1+2i))$
Neutrales Element	$z+0=z$	$(2+i)+(0+0i)=2+i$
Gegenzahl	$z+(-z)=0$	$(5-2i)+(-5+2i)=(5-5)+(-2+2)i=0$

Skalare Multiplikation

Skalarmultiplikation bedeutet, $beide Komponenten mit demselben Faktor zu multiplizieren$ . Für $z=x+iy$ ergibt sich $cz=cx+i(cy)$ . Jede folgende Regel gilt aufgrund der Assoziativität und Distributivität reeller Zahlen für beide Komponenten.

Eigenschaft	Regel	Rechenbeispiel
Assoziativ	$c(dz)=(cd)z$	$2(3(1+i))=2(3+3i)=6+6i=6(1+i)$
Distributiv über Skalare	$(c+d)z=cz+dz$	$(2+3)(1+i)=5+5i=(2+2i)+(3+3i)$
Distributiv über komplexe Zahlen	$c(z_1+z_2)=cz_1+cz_2$	$2((1+i)+(2-i))=6=(2+2i)+(4-2i)$
Neutrales Element	$1z=z$	$1(1+i)=1+i$
Nullskalar	$0z=0$	$0(1+i)=0+0i=0$

Ausdrücke mit Additionseigenschaften vereinfachen

Mit dem $Distributivgesetz$ kannst du einen Skalar Glied für Glied in eine Summe hineinmultiplizieren, und gleich große Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen heben sich anschließend auf. Beide Schritte lassen Real- und Imaginärteil unverändert, sodass jede daraus gebildete Identität für alle komplexen Zahlen gilt.

Das additive Inverse überprüfen

Das $Distributivgesetz$ fasst zwei Terme mit derselben komplexen Zahl zusammen. Die entgegengesetzten Koeffizienten ergeben zusammen den Skalar null:

4z+(-4)z=(4+(-4))z=0z=0

Übung

Beweise mit den $Additionseigenschaften$ , dass $3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z$ für jede komplexe Zahl $z$ gilt. Arbeite nur auf der linken Seite und nenne bei jedem Schritt die verwendete Eigenschaft, damit der Beweis für alle komplexen Zahlen gilt.

Ausführliche Lösung

Schreibe die Subtraktion als $Addition der Gegenzahl$ , klammere die Skalare mithilfe des Assoziativgesetzes um und fasse die Koeffizienten mit dem Distributivgesetz zusammen:

\begin{aligned}3z-\frac12(2z)&=3z+\left(-\frac12\right)(2z) \\ &=3z+\left(\left(-\frac12\right)2\right)z \\ &=3z+(-1)z \\ &=(3-1)z=2z\end{aligned}