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Seien , und beliebige komplexe Zahlen und seien und beliebige Skalare (reelle Zahlen).
Die komplexe Addition erfolgt getrennt für Real- und Imaginärteil. Bei reellen Summen darfst du die Reihenfolge und die Klammerung ändern. Deshalb gelten beide Regeln auch für jede komplexe Komponente. Die Vertauschung lässt sich zum Beispiel direkt nachrechnen:
| Eigenschaft | Regel | Rechenbeispiel |
|---|---|---|
| Kommutativ | ||
| Assoziativ | ||
| Neutrales Element | ||
| Gegenzahl |
Skalarmultiplikation bedeutet, beide Komponenten mit demselben Faktor zu multiplizieren. Für ergibt sich . Jede folgende Regel gilt aufgrund der Assoziativität und Distributivität reeller Zahlen für beide Komponenten.
| Eigenschaft | Regel | Rechenbeispiel |
|---|---|---|
| Assoziativ | ||
| Distributiv über Skalare | ||
| Distributiv über komplexe Zahlen | ||
| Neutrales Element | ||
| Nullskalar |
Mit dem Distributivgesetz kannst du einen Skalar Glied für Glied in eine Summe hineinmultiplizieren, und gleich große Koeffizienten mit entgegengesetztem Vorzeichen heben sich anschließend auf. Beide Schritte lassen Real- und Imaginärteil unverändert, sodass jede daraus gebildete Identität für alle komplexen Zahlen gilt.
Das Distributivgesetz fasst zwei Terme mit derselben komplexen Zahl zusammen. Die entgegengesetzten Koeffizienten ergeben zusammen den Skalar null:
Beweise mit den Additionseigenschaften, dass für jede komplexe Zahl gilt. Arbeite nur auf der linken Seite und nenne bei jedem Schritt die verwendete Eigenschaft, damit der Beweis für alle komplexen Zahlen gilt.
Schreibe die Subtraktion als Addition der Gegenzahl, klammere die Skalare mithilfe des Assoziativgesetzes um und fasse die Koeffizienten mit dem Distributivgesetz zusammen:
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