Eigenschaften der Multiplikation komplexer Zahlen

Rechengesetze für Produkte komplexer Zahlen

Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt $den vertrauten Kommutativ-, Assoziativ-, Identitäts- und Distributivgesetzen$ . Seien $z_1, z_2,$ und $z_3$ beliebige komplexe Zahlen. Jedes Gesetz wird mit einem Zahlenbeispiel überprüft, sodass du die Ausmultiplikation des Produkts selbst nachvollziehen kannst.

Kommutativgesetz

Nach dem Kommutativgesetz spielt die $Reihenfolge bei der Multiplikation$ zweier komplexer Zahlen keine Rolle.

z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1

$Beispiel$ :

Seien $z_1 = 1+2i$ und $z_2 = 3-i$ .

\begin{aligned}z_1 \times z_2 &= (1+2i)(3-i) \\ &= 1(3-i) + 2i(3-i) \\ &= 3-i+6i-2i^2 \\ &= 3+5i-2(-1) \\ &= 5+5i\end{aligned}

Beide Produkte ergeben $5+5i$ . Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.

Assoziativgesetz

Nach dem Assoziativgesetz ändert sich das Ergebnis nicht, wenn wir bei der Multiplikation von drei oder mehr komplexen Zahlen die $Klammern anders setzen$ .

(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)

$Beispiel$ :

Seien $z_1 = i$ , $z_2 = 2$ und $z_3 = 3-i$ .

\begin{aligned}(z_1 \times z_2) \times z_3 &= (i \times 2) \times (3-i) \\ &= 2i(3-i) \\ &= 6i - 2i^2 \\ &= 6i - 2(-1) \\ &= 2+6i\end{aligned}

Beide Klammerungen ergeben $2+6i$ . Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.

Neutrales Element der Multiplikation

Die komplexe Zahl $1 = 1+0i$ ist das $neutrale Element der Multiplikation$ . Eine Multiplikation mit $1$ lässt jede komplexe Zahl unverändert.

z \times 1 = z = 1 \times z

$Beispiel$ :

Sei $z = 4-7i$ .

\begin{aligned} z \times 1 &= (4-7i)(1+0i) \\ &= 4(1) - (-7)(0) \\ &\quad{}+ i(4(0) + (-7)(1)) \\ &= 4 - 7i \\ &= z \end{aligned}

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz verbindet $Multiplikation und Addition$ komplexer Zahlen.

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) \end{aligned}

$Beispiel$ :

Sei $z_1=2$ , $z_2 = 1+i$ , $z_3 = 3-2i$ .

$Linke Seite$ : $z_1 \times (z_2 + z_3)$

z_1(z_2+z_3)=2((1+i)+(3-2i))=2(4-i)=8-2i

$Rechte Seite$ : $(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$

z_1z_2+z_1z_3=2(1+i)+2(3-2i)=(2+2i)+(6-4i)=8-2i

Beide Seiten ergeben $8-2i$ . Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.

Rechenregeln in einem Beweis anwenden

Wende das $Distributivgesetz$ an, um vier Terme zu erhalten. Mit dem $Kommutativgesetz$ kannst du die beiden gemischten Produkte gleich schreiben. Fasse diese gleichen Terme anschließend zum doppelten Produkt zusammen:

\begin{aligned}(z_1+z_2)^2&=(z_1+z_2)(z_1+z_2) \\ &=z_1(z_1+z_2)+z_2(z_1+z_2) \\ &=z_1^2+z_1z_2+z_2z_1+z_2^2 \\ &=z_1^2+z_1z_2+z_1z_2+z_2^2 \\ &=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\end{aligned}

Multiplikatives Inverses

Jede $komplexe Zahl ungleich null$ $z = x + iy \neq 0$ hat ein multiplikatives Inverses. Es wird als $z^{-1}$ oder $1/z$ geschrieben und erfüllt $z \times z^{-1} = 1$ .

Sei $z^{-1} = u + iv$ . Dann:

z \times z^{-1} = 1

Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen folgt das Gleichungssystem:

$xu - yv = 1$
$xv + uy = 0$

Um $u$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $x$ und die zweite mit $y$ und addieren anschließend:

x^2u-xyv=x

Um $v$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $-y$ und die zweite mit $x$ und addieren wieder. Wegen $z\neq0$ gilt $x^2+y^2>0$ , sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:

-xyu+y^2v=-y

u = \frac{x}{x^2+y^2}

Das multiplikative Inverse von $z = x+iy$ ist also:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Da $x^2+y^2 = |z|^2$ und $x-iy = \bar{z}$ gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Rechengesetze für Produkte komplexer Zahlen

Kommutativgesetz

Nach dem Kommutativgesetz spielt die $Reihenfolge bei der Multiplikation$ zweier komplexer Zahlen keine Rolle.

z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1

$Beispiel$ :

Seien $z_1 = 1+2i$ und $z_2 = 3-i$ .

\begin{aligned}z_1 \times z_2 &= (1+2i)(3-i) \\ &= 1(3-i) + 2i(3-i) \\ &= 3-i+6i-2i^2 \\ &= 3+5i-2(-1) \\ &= 5+5i\end{aligned}

Beide Produkte ergeben $5+5i$ . Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.

Assoziativgesetz

Nach dem Assoziativgesetz ändert sich das Ergebnis nicht, wenn wir bei der Multiplikation von drei oder mehr komplexen Zahlen die $Klammern anders setzen$ .

(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)

$Beispiel$ :

Seien $z_1 = i$ , $z_2 = 2$ und $z_3 = 3-i$ .

\begin{aligned}(z_1 \times z_2) \times z_3 &= (i \times 2) \times (3-i) \\ &= 2i(3-i) \\ &= 6i - 2i^2 \\ &= 6i - 2(-1) \\ &= 2+6i\end{aligned}

Beide Klammerungen ergeben $2+6i$ . Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.

Neutrales Element der Multiplikation

Die komplexe Zahl $1 = 1+0i$ ist das $neutrale Element der Multiplikation$ . Eine Multiplikation mit $1$ lässt jede komplexe Zahl unverändert.

z \times 1 = z = 1 \times z

$Beispiel$ :

Sei $z = 4-7i$ .

\begin{aligned} z \times 1 &= (4-7i)(1+0i) \\ &= 4(1) - (-7)(0) \\ &\quad{}+ i(4(0) + (-7)(1)) \\ &= 4 - 7i \\ &= z \end{aligned}

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz verbindet $Multiplikation und Addition$ komplexer Zahlen.

\begin{aligned} &z_1 \times (z_2 + z_3) \\ &= (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) \end{aligned}

$Beispiel$ :

Sei $z_1=2$ , $z_2 = 1+i$ , $z_3 = 3-2i$ .

$Linke Seite$ : $z_1 \times (z_2 + z_3)$

z_1(z_2+z_3)=2((1+i)+(3-2i))=2(4-i)=8-2i

$Rechte Seite$ : $(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)$

z_1z_2+z_1z_3=2(1+i)+2(3-2i)=(2+2i)+(6-4i)=8-2i

Beide Seiten ergeben $8-2i$ . Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.

Rechenregeln in einem Beweis anwenden

\begin{aligned}(z_1+z_2)^2&=(z_1+z_2)(z_1+z_2) \\ &=z_1(z_1+z_2)+z_2(z_1+z_2) \\ &=z_1^2+z_1z_2+z_2z_1+z_2^2 \\ &=z_1^2+z_1z_2+z_1z_2+z_2^2 \\ &=z_1^2+2z_1z_2+z_2^2\end{aligned}

Multiplikatives Inverses

Jede $komplexe Zahl ungleich null$ $z = x + iy \neq 0$ hat ein multiplikatives Inverses. Es wird als $z^{-1}$ oder $1/z$ geschrieben und erfüllt $z \times z^{-1} = 1$ .

Sei $z^{-1} = u + iv$ . Dann:

z \times z^{-1} = 1

Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen folgt das Gleichungssystem:

$xu - yv = 1$
$xv + uy = 0$

Um $u$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $x$ und die zweite mit $y$ und addieren anschließend:

x^2u-xyv=x

Um $v$ zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $-y$ und die zweite mit $x$ und addieren wieder. Wegen $z\neq0$ gilt $x^2+y^2>0$ , sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:

-xyu+y^2v=-y

u = \frac{x}{x^2+y^2}

Das multiplikative Inverse von $z = x+iy$ ist also:

z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}

Da $x^2+y^2 = |z|^2$ und $x-iy = \bar{z}$ gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}