Eigenschaften der Multiplikationsoperation
Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt den vertrauten Kommutativ-, Assoziativ-, Identitäts- und Distributivgesetzen. Seien und beliebige komplexe Zahlen.
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Die Multiplikation komplexer Zahlen folgt den vertrauten Kommutativ-, Assoziativ-, Identitäts- und Distributivgesetzen. Seien und beliebige komplexe Zahlen.
Die kommutative Eigenschaft bedeutet, dass die Reihenfolge bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen keinen Einfluss auf das Ergebnis hat.
Beispiel:
Seien und .
Beide Produkte ergeben . Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.
Die assoziative Eigenschaft besagt, dass bei der Multiplikation von drei oder mehr komplexen Zahlen die Gruppierung der Multiplikation das Ergebnis nicht verändert.
Beispiel:
Seien , und .
Beide Klammerungen ergeben . Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.
Die komplexe Zahl ist das neutrale Element der Multiplikation. Eine Multiplikation mit lässt jede komplexe Zahl unverändert.
Beispiel:
Sei .
Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition komplexer Zahlen.
Beispiel:
Sei , , .
Linke Seite:
Rechte Seite:
Beide Seiten ergeben . Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.
Mit denselben Gesetzen lassen sich algebraische Identitäten beweisen. Für beliebige wird wie folgt ausmultipliziert:
Jede von Null verschiedene komplexe Zahl hat eine multiplikative Umkehrung, die als oder bezeichnet wird, so dass .
Sei . Dann:
Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen folgt das Gleichungssystem:
Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren anschließend:
Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren wieder. Wegen gilt , sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:
Die multiplikative Umkehrung von ist also:
Da und gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben: