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Nach dem Kommutativgesetz spielt die Reihenfolge bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen keine Rolle.
Beispiel:
Seien und .
Beide Produkte ergeben . Damit ist die Kommutativität in diesem Beispiel bestätigt.
Nach dem Assoziativgesetz ändert sich das Ergebnis nicht, wenn wir bei der Multiplikation von drei oder mehr komplexen Zahlen die Klammern anders setzen.
Beispiel:
Seien , und .
Beide Klammerungen ergeben . Damit ist die Assoziativität in diesem Beispiel bestätigt.
Die komplexe Zahl ist das neutrale Element der Multiplikation. Eine Multiplikation mit lässt jede komplexe Zahl unverändert.
Beispiel:
Sei .
Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation und Addition komplexer Zahlen.
Beispiel:
Sei , , .
Linke Seite:
Rechte Seite:
Beide Seiten ergeben . Damit ist das Distributivgesetz in diesem Beispiel bestätigt.
Wende das Distributivgesetz an, um vier Terme zu erhalten. Mit dem Kommutativgesetz kannst du die beiden gemischten Produkte gleich schreiben. Fasse diese gleichen Terme anschließend zum doppelten Produkt zusammen:
Jede komplexe Zahl ungleich null hat ein multiplikatives Inverses. Es wird als oder geschrieben und erfüllt .
Sei . Dann:
Aus der Gleichheit zweier komplexer Zahlen folgt das Gleichungssystem:
Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren anschließend:
Um zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit und die zweite mit und addieren wieder. Wegen gilt , sodass wir durch diesen Wert teilen dürfen:
Das multiplikative Inverse von ist also:
Da und gilt, lässt sich der Kehrwert auch so schreiben:
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