Konjugierte komplexe Zahlen

Es entsteht, indem das Vorzeichen des Imaginärteils gewechselt wird.

Formale Definition

Ist $z = x + iy$ eine komplexe Zahl mit dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil $y$, dann gilt:

Der Realteil $x$ bleibt also unverändert. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils $y$ wird umgekehrt.

Beispiele

Die Regel lässt sich direkt auf verschiedene Formen komplexer Zahlen anwenden:

1. Wenn $z = 2 + i$

   Hier sind $x=2$ und $y=1$.

   Damit ist $\bar{z} = 2 - i$. Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von $+1$ zu $-1$.

2. Wenn $z = 2$

   Wir können $z = 2 + 0i$ schreiben. Hier sind $x=2$ und $y=0$.

3. Wenn $z = 3 - 2i$

   Hier sind $x=3$ und $y=-2$.

   Damit ist . Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von zu .

4. Wenn $z = 3i$

   Wir können $z = 0 + 3i$ schreiben. Hier sind $x=0$ und $y=3$.

Visualisierung des Konjugats

In der komplexen Ebene ist $\bar{z}$ die Spiegelung von $z$ an der reellen Achse, also der $x$-Achse.

Wann ist eine Zahl gleich ihrem Konjugierten?

Kann eine komplexe Zahl $z=x+iy$ gleich ihrem Konjugierten $\bar{z}=x-iy$ sein? Entscheidend ist der Imaginärteil.

Herleitung:

Aus $z = \bar{z}$ folgt:

Die Gleichung kann nur gelten, wenn $iy = -iy$, also $2iy = 0$ ist.

Da $i \neq 0$ gilt, muss $y=0$ sein.

Eine komplexe Zahl ist somit genau dann gleich ihrem Konjugierten, wenn ihr Imaginärteil null ist. Anders gesagt: Die Zahl muss reell sein.

Rechenregeln der Konjugation

Für beliebige komplexe Zahlen $z, z_1,$ und $z_2$ gelten die folgenden Rechenregeln.

Summe und Differenz

Das Konjugierte einer Summe oder Differenz erhält man, indem jeder Summand einzeln konjugiert wird.

Produkt und Quotient

Dasselbe Prinzip gilt für Produkte und, sofern der Nenner nicht null ist, für Quotienten.

Inverse

Das Konjugieren und das Bilden des Kehrwerts können in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden.

Doppelkonjugat

Zweimaliges Konjugieren führt zur ursprünglichen Zahl zurück.

Relation mit Real- und Imaginärteilen

Summe und Differenz einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten isolieren Real- und Imaginärteil:

Multiplikation durch Konjugat

Das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrem Konjugierten ist das Quadrat ihres Betrags und damit eine nichtnegative reelle Zahl.

Übung

Bestimme das Konjugierte der folgenden komplexen Zahlen.

1. $2+i^2$
2. $1+\frac{1}{i}$
3. $1+2i$

Ausführliche Lösungen

1. Zuerst wird die komplexe Zahl vereinfacht:

   $z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$. Da $z=1$ eine reelle Zahl ist, lässt sie sich als $1+0i$ schreiben.

   Ihr Konjugiertes ist daher $\bar{z} = 1$.

2. Auch hier wird zuerst vereinfacht.

   Dazu wird der Nenner mit $-i$ rationalisiert:

   $$\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$$

3. $z = 1+2i$.

   Nach der Definition gilt direkt $\bar{z} = 1 - 2i$.

Damit ist $\bar{z} = 2 - 0i = 2$. Der Imaginärteil ist $0$, sodass der Vorzeichenwechsel nichts ändert.

Das Konjugat einer reellen Zahl ist die reelle Zahl selbst.

Damit ist $\bar{z} = 0 - 3i = -3i$. Das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt von $+3$ zu $-3$.

Das Konjugat einer rein imaginären Zahl ist ihr Negativ.

Also ist $z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$.

Das Konjugierte lautet $\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$.