Konjugierte komplexe Zahlen

Es entsteht, indem das Vorzeichen des Imaginärteils gewechselt wird. Der Realteil behält seinen Wert und sein Vorzeichen, sodass sich nur der Term mit $i$ ändert.

Definition der komplexen Konjugation

Ist $z = x + iy$ eine komplexe Zahl mit dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil $y$, dann gilt:

Der Realteil $x$ bleibt also unverändert. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils $y$ wird umgekehrt.

Die Konjugationsregel auf verschiedene Formen anwenden

Schreibe den Imaginärteil mit seinem Vorzeichen auf, bevor du das Vorzeichen umkehrst. Eine reelle Zahl bleibt unverändert, weil ihr Imaginärteil null ist. Eine rein imaginäre Zahl wird zu ihrer Gegenzahl.

Visualisierung des Konjugats

In der komplexen Ebene ist $\bar{z}$ die Spiegelung von $z$ an der reellen Achse, also der $x$-Achse.

Gleichheit mit dem Konjugierten

Kann eine komplexe Zahl $z=x+iy$ gleich ihrem Konjugierten $\bar{z}=x-iy$ sein? Entscheidend ist der Imaginärteil.

Herleitung:

Aus $z = \bar{z}$ folgt:

Die Gleichung kann nur gelten, wenn $iy = -iy$, also $2iy = 0$ ist.

Da $i \neq 0$ gilt, muss $y=0$ sein.

Eine komplexe Zahl ist somit genau dann gleich ihrem Konjugierten, wenn ihr Imaginärteil null ist. Anders gesagt: Die Zahl muss reell sein.

Rechenregeln der Konjugation

Diese Regeln folgen aus den Operationen mit Realteil und Imaginärteil. Vergleiche sie anhand derselben Beispielzahlen. Bei Division und Kehrwertbildung muss der Nenner ungleich null sein.

Komponenten und Betrag bestimmen

Bei der Summe eines konjugierten Paars heben sich die Imaginärteile auf. Bei der Differenz heben sich stattdessen die Realteile auf:

Im Produkt heben sich auch die gemischten Terme auf. Das Ergebnis ist reell und nichtnegativ, denn es ist die Summe zweier Quadrate:

Übung

Bestimme das Konjugierte der folgenden komplexen Zahlen. Zwei davon enthalten eine Potenz von $i$ oder eine Division durch $i$, deshalb vereinfachst du sie zuerst und liest das Konjugierte aus der vereinfachten Form ab.

1. $2+i^2$
2. $1+\frac{1}{i}$
3. $1+2i$

Ausführliche Lösungen

1. Die komplexe Zahl wird vereinfacht:

   $z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$. Da $z=1$ eine reelle Zahl ist, lässt sie sich als $1+0i$ schreiben.

   Ihr Konjugiertes ist daher $\bar{z} = 1$.

2. Auch hier wird zuerst vereinfacht.

   Dazu wird der Nenner mit $-i$ rationalisiert:

   $$\begin{aligned} \frac{1}{i} &= \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} \\ &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{-(-1)} \\ &= \frac{-i}{1} \\ &= -i \end{aligned}$$

3. $z = 1+2i$.

   Nach dem Vorzeichenwechsel im Imaginärteil gilt $\bar{z} = 1 - 2i$.

Veröffentlicht: 22.08.2026. Aktualisiert: 24.09.2026.

Also ist $z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$.

Das Konjugierte lautet $\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$.