Darstellungsformen komplexer Zahlen

Kartesische oder rechteckige Form

Eine komplexe Zahl hat die Form $z = x + iy$, wobei $x$ der Realteil und $y$ der Imaginärteil ist. Diese Form $z = x + iy$ wird als kartesische Form oder rechteckige Form bezeichnet.

• $x = \text{Re}(z)$ (Realteil)
• $y = \text{Im}(z)$ (Imaginärteil)

Die komplexe Zahl $z = x + iy$ kann auch als geordnetes Paar $(x, y)$ aufgefasst werden. Die zugehörige Koordinatenebene heißt komplexe Ebene oder Argand-Diagramm.

• Die horizontale Achse ($x$-Achse) stellt den Realteil dar.
• Die vertikale Achse ($y$-Achse) stellt den Imaginärteil dar.

Visualisierung auf der komplexen Ebene

Jede komplexe Zahl $z = x + iy$ kann als Punkt $(x, y)$ in der komplexen Ebene eingetragen werden. Der Ortsvektor vom Ursprung $(0, 0)$ zu diesem Punkt stellt dieselbe Zahl geometrisch dar.

Polarform

Neben der kartesischen Form gibt es eine zweite wichtige Darstellung: die Polarform. Sie beschreibt eine komplexe Zahl durch:

1. Betrag ($r$): Der Abstand vom Ursprung $(0, 0)$ zum Punkt $(x, y)$ in der komplexen Ebene. Er ist stets nicht negativ.
2. Argument ($\theta$): Der Winkel, den die Linie vom Ursprung zum Punkt $(x, y)$ mit der positiven realen Achse bildet. Dieser Winkel wird normalerweise im Bogenmaß oder Grad gemessen.

Für $z=0$ ist der Betrag $0$, aber keine Richtung festgelegt. Null besitzt deshalb kein Argument und muss in Polar- oder Exponentialform gesondert betrachtet werden.

Die Beziehung zwischen der kartesischen Form ($x, y$) und der Polarform ($r, \theta$) lässt sich anhand der grundlegenden Trigonometrie erkennen:

Daraus lassen sich $r$ und $\theta$ bestimmen, wenn $x$ und $y$ bekannt sind:

Beim Bestimmen von $\theta$ aus $\tan \theta$ muss auch der Quadrant des Punktes $(x, y)$ berücksichtigt werden, denn der Tangenswert allein legt den Winkel nicht eindeutig fest.

Durch Einsetzen von $x$ und $y$ in die kartesische Form erhalten wir die Polarform:

Manchmal wird die Form $(\cos \theta + i \sin \theta)$ als $\text{cis } \theta$ abgekürzt.

Umrechnung in die Polarform

Verwende den Betrag für die Länge und den Quadranten für die Richtung. So zeigt der gewählte Winkel tatsächlich zum Punkt der komplexen Zahl.

Gegeben sei $z = 1 + i$.

• Realteil $x = 1$.
• Imaginärteil $y = 1$.

Zuerst bestimmen wir $r$:

Danach bestimmen wir $\theta$:

Da $x$ und $y$ positiv sind, liegt der Punkt $(1, 1)$ im Quadranten $I$. Dort hat $\tan$ den Wert $1$. Im Quadranten $I$ gehört dazu der Winkel $45^\circ$ beziehungsweise $\pi/4$ im Bogenmaß.

Die Polarform ist also:

Übung zur Polarform

Bestimme Betrag und Argument beider Zahlen. Bei einem Punkt auf einer Achse liest du die Richtung direkt ab, statt durch einen Realteil null zu teilen.

Gib die folgenden komplexen Zahlen in Polarform an:

1. $z = 1 + i\sqrt{3}$
2. $z = -i$

Ausführliche Lösungen:

1. Für $z = 1 + i\sqrt{3}$:

   Hier sind $x = 1$ und $y = \sqrt{3}$.

   Berechne den Betrag $r$:

   $$\begin{aligned} r &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \\ &= \sqrt{1 + 3} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned}$$

   Bestimme das Argument $\theta$:

   $$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$

   Da $x$ und $y$ positiv sind, gilt: Der Punkt $(1, \sqrt{3})$ liegt im Quadranten $I$ , daher ist $\theta = 60^\circ$.

   Polarform:

   $$z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$$

2. Für $z = -i$:

   Hier sind $x = 0$ und $y = -1$.

   Berechne den Betrag $r$:

   $$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$

   Bestimme das Argument $\theta$: Der Punkt $(0, -1)$ liegt auf der negativen imaginären Achse. Sein Hauptargument ist daher $\theta = -90^\circ$.

   Polarform mit dem Hauptargument:

   $$z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ))$$

   Der koterminale Winkel $270^\circ$ liefert die gleichwertige Form:

   $$z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ)$$

Exponentielle Form

Die Exponentialform folgt aus Eulers Formel:

In Eulers Formel muss der Winkel im Bogenmaß stehen. Eine Addition von zwei Pi entspricht einer vollen Umdrehung und verändert die komplexe Zahl nicht.

Hier ist $e \approx 2{,}71828\ldots$ die Eulersche Zahl, die Basis des natürlichen Logarithmus.

Wenn wir die Eulersche Formel in die Polarform $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ einsetzen, erhalten wir die Exponentialform:

Für Zahlen ungleich null werden in der Exponentialform bei der Multiplikation die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert.

Umrechnung in die Exponentialform

Verwende Winkel im Bogenmaß im Exponenten. Der Betrag bleibt gleich, denn die neue Form ändert nur die Schreibweise der Richtung.

Betrachten wir die beiden vorigen Beispiele:

1. Für $z = 1 + i$ haben wir bereits die Polarform $\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$.

   Betrag $r = \sqrt{2}$.

   Argument $\theta = 45^\circ = \pi/4$ Bogenmaß.

   Exponentialform:

   $$z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

2. Für $z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)$:

   Betrag $r = \sqrt{2}$.

   Argument $\theta = 315^\circ$. Umrechnung ins Bogenmaß:

   $$\begin{aligned} 315^\circ &= 315 \times \frac{\pi}{180} \\ &= \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} \\ &= \frac{7\pi}{4} \end{aligned}$$

   Gleichwertig kann der negative Winkel $315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4$ verwendet werden.

   Exponentialform mit einer der beiden Winkeldarstellungen:

   $$z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4}$$

   oder

   $$z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$$

Übung zur Exponentialform

Rechne den Winkel von Grad ins Bogenmaß um und behalte den Betrag vor dem Exponentialfaktor bei.

Gib die folgenden komplexen Zahlen in Exponentialform an. Verwende Winkel im Bogenmaß.

1. $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$
2. $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$

Ausführliche Lösungen:

1. Für $z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)$:

   Betrag $r = 2$.

   Argument $\theta = 60^\circ$. Umrechnung ins Bogenmaß:

   $$\theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$$

   Exponentialform:

   $$z = 2 e^{i \pi/3}$$

2. Für $z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ$:

   Betrag $r = 1$, da vor $\cos$ und $\sin$ kein anderer Faktor steht.

   Argument $\theta = 15^\circ$. Umrechnung ins Bogenmaß:

   $$\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}$$

   Exponentialform:

   $$z = e^{i \pi/12}$$

Eine geeignete Form wählen

Die kartesische Form ist normalerweise die klarste Wahl für Addition und Subtraktion. Die Polar- oder Exponentialform erleichtert Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln, da Beträge und Argumente direkt kombiniert werden können.

Für den Rückweg von der Polarform zur kartesischen Form werden Sinus und Cosinus ausgewertet. Zum Beispiel:

Das Ändern der Form ist daher eine Entscheidung zur Problemlösung und kein separater Vorgang an der Zahl.

Gleichheit zweier komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen $z_1 = x_1 + iy_1$ und $z_2 = x_2 + iy_2$ sind genau dann gleich, wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen.

Beispiel zur Gleichheit

Vergleiche die entsprechenden Komponenten. Schon eine unterschiedliche Komponente bedeutet, dass die Zahlen ungleich sind. Die Reihenfolge der Terme verändert die Zahl dagegen nicht.

Übung zur Gleichheit

Entscheide, ob die folgenden Paare komplexer Zahlen gleich oder verschieden sind:

1. $z_1 = 4 - (-2i)$ und $z_2 = 4 + 2i$
2. $z_1 = i$ und $z_2 = 1 - i$
3. $z_1 = -1 + i$ und $z_2 = i + 1$

Ausführliche Lösungen:

1. $z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i$.

   Somit ist $z_1$ gleich zu $z_2 = 4 + 2i$.

2. $z_1 = 0 + 1i$ und $z_2 = 1 - 1i$.

   Die Realteile sind unterschiedlich ($0 \neq 1$) und die Imaginärteile sind unterschiedlich ($1 \neq -1$).

   Somit ist $z_1$ verschieden von $z_2$.

3. $z_1 = -1 + 1i$ und $z_2 = 1 + 1i$.

   Die Realteile sind unterschiedlich ($-1 \neq 1$).

   Somit ist $z_1$ verschieden von $z_2$.

Übungen

Prüfe die Komponenten, Quadranten und Darstellungsformen, nach denen gefragt wird. Die ersten drei Aufgaben sind Richtig-oder-falsch-Aussagen. Danach rechnest du Darstellungen um und löst die übrigen Aufgaben mit Komponentengleichungen oder der quadratischen Lösungsformel.

1. Richtig oder falsch. Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl.
2. Richtig oder falsch. Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die exponentielle und die logarithmische Form.
3. Richtig oder falsch. Wenn die komplexe Zahl $z = 1 - 3i$ in die komplexe Ebene eingetragen wird, liegt sie im dritten Quadranten.
4. Gib die komplexe Zahl $2+2i$ in Polar- und Exponentialform an.
5. Bestimme reelle Zahlen $x$ und $y$ so, dass für $z_1 = x + 3i$ und $z_2 = 3 - yi$ die Gleichheit $z_1 = z_2$ gilt.
6. Löse die quadratische Gleichung $x^2 - 2x + 6 = 0$.
7. Bestimme die quadratische Gleichung mit den Lösungen $x_1 = 1 + i$ und $x_2 = 1 - i$.

Ausführliche Lösungen

1. Richtig. Eine reelle Zahl $a$ kann als $a + 0i$ geschrieben werden.

2. Falsch. Die drei hier verwendeten Standardformen sind die kartesische, die polare und die exponentielle Form. Ein Logarithmus ist eine Operation auf einer komplexen Zahl und kein Ersatz für die in der Liste fehlende Polarform.

3. Falsch. $z = 1 - 3i$ hat einen positiven Realteil ($x=1$) und einen negativen Imaginärteil ($y=-3$). Der Punkt $(1, -3)$ liegt im vierten Quadranten.

4. Für $z = 2 + 2i$:

   Berechne den Betrag $r$:

   $$\begin{aligned} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ &= \sqrt{2^2+2^2} \\ &= \sqrt{4+4} \\ &= \sqrt{8} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$

   Berechne das Argument $\theta$:

   $$\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$$

   Da $x=2$ und $y=2$ beide positiv sind, liegt der Punkt im ersten Quadranten. Daher ist $\theta = 45^\circ$ beziehungsweise $\pi/4$ im Bogenmaß.

   Polarform:

   $$\begin{aligned} z &= r(\cos \theta + i \sin \theta) \\ &= 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \end{aligned}$$

   Exponentialform:

   $$z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4}$$

5. Damit $z_1 = x + 3i$ gleich $z_2 = 3 - yi$ ist, müssen die Realteile gleich und die Imaginärteile gleich sein:

   Realteil: $x = 3$

   Imaginärteil: $3 = -y \implies y = -3$ Also $x=3$ und $y=-3$.

6. Zum Lösen von $x^2 - 2x + 6 = 0$ verwenden wir die quadratische Lösungsformel:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

   Hier gilt $a=1, b=-2, c=6$:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm i\sqrt{20}}{2}$$

   $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2}$$

   $$x = 1 \pm i\sqrt{5}$$

   Die Lösungen sind $x_1 = 1 + i\sqrt{5}$ und $x_2 = 1 - i\sqrt{5}$ .

7. Wenn die Wurzeln einer quadratischen Gleichung $x_1 = 1 + i$ und $x_2 = 1 - i$ sind, kann die Gleichung aus $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ oder $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0$ gebildet werden.

   Berechne die Summe der Lösungen:

   $$\begin{aligned} x_1 + x_2 &= (1+i) + (1-i) \\ &= 1 + i + 1 - i \\ &= 2 \end{aligned}$$

   Berechne das Produkt der Lösungen:

   $$\begin{aligned} x_1 x_2 &= (1+i)(1-i) \\ &= 1^2 - i^2 \\ &= 1 - (-1) \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   Stelle daraus die quadratische Gleichung auf:

   $$x^2 - (2)x + (2) = 0$$

   $$x^2 - 2x + 2 = 0$$