Konjugierte komplexe Zahlen

Das Vorzeichen des Imaginärteils wechseln

Zu jeder komplexen Zahl $z = x + iy$ gehört ein $Konjugiertes$ , das mit $\bar{z}$ bezeichnet wird.

Es entsteht, indem $das Vorzeichen des Imaginärteils gewechselt wird$ . Der Realteil behält seinen Wert und sein Vorzeichen, sodass sich nur der Term mit $i$ ändert.

Definition der komplexen Konjugation

Ist $z = x + iy$ eine komplexe Zahl mit dem Realteil $x$ und dem Imaginärteil $y$ , dann gilt:

\bar{z} = x - iy

Der $Realteil$ $x$ bleibt also unverändert. Nur das Vorzeichen des Imaginärteils $y$ wird umgekehrt.

Die Konjugationsregel auf verschiedene Formen anwenden

Schreibe den $Imaginärteil mit seinem Vorzeichen$ auf, bevor du das Vorzeichen umkehrst. Eine reelle Zahl bleibt unverändert, weil ihr Imaginärteil null ist. Eine rein imaginäre Zahl wird zu ihrer Gegenzahl.

Zahl	Realteil	Imaginärteil	Konjugiertes
$2+i$	$2$	$1$	$2-i$
$2=2+0i$	$2$	$0$	$2-0i=2$
$3-2i$	$3$	$-2$	$3-(-2)i=3+2i$
$3i=0+3i$	$0$	$3$	$0-3i=-3i$

Visualisierung des Konjugats

In der komplexen Ebene ist $\bar{z}$ die $Spiegelung$ von $z$ an der $reellen Achse$ , also der $x$ -Achse.

z=3+2i

und sein Konjugiertes

\bar{z} = 3-2i

z

und

\bar{z}

liegen spiegelbildlich zur reellen Achse.

Gleichheit mit dem Konjugierten

Kann eine komplexe Zahl $z=x+iy$ gleich ihrem Konjugierten $\bar{z}=x-iy$ sein? Entscheidend ist der Imaginärteil.

$Herleitung$ :

Aus $z = \bar{z}$ folgt:

x+iy = x-iy

Die Gleichung kann nur gelten, wenn $iy = -iy$ , also $2iy = 0$ ist.

Da $i \neq 0$ gilt, muss $y=0$ sein.

Eine komplexe Zahl ist somit genau dann gleich ihrem Konjugierten, wenn ihr $Imaginärteil null$ ist. Anders gesagt: Die Zahl muss $reell$ sein.

Rechenregeln der Konjugation

Diese Regeln folgen aus den $Operationen mit Realteil und Imaginärteil$ . Vergleiche sie anhand derselben Beispielzahlen. Bei Division und Kehrwertbildung muss der Nenner ungleich null sein.

Operation	Identität	Beispiel
Summe	$\overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2$	$\overline{(1+i)+(2-i)}=\bar3=3=(1-i)+(2+i)$
Differenz	$\overline{z_1-z_2}=\bar z_1-\bar z_2$	$\overline{-1+2i}=-1-2i=(1-i)-(2+i)$
Produkt	$\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2$	$\overline{3+i}=3-i=(1-i)(2+i)$
Quotient	$\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2,\ z_2\ne0$	$\overline{(1+3i)/5}=(1-3i)/5=(1-i)/(2+i)$
Kehrwert	$\overline{z^{-1}}=(\bar z)^{-1},\ z\ne0$	$\overline{1/(1+i)}=(1+i)/2=1/(1-i)$
Doppelkonjugation	$\overline{\bar z}=z$	$\overline{\overline{1+i}}=\overline{1-i}=1+i$

\begin{aligned}\overline{z_1z_2}&=(x_1x_2-y_1y_2)-i(x_1y_2+y_1x_2)\\&=(x_1-iy_1)(x_2-iy_2)=\bar z_1\bar z_2\end{aligned}

Komponenten und Betrag bestimmen

Bei der Summe eines konjugierten Paars $heben sich die Imaginärteile auf$ . Bei der Differenz heben sich stattdessen die Realteile auf:

\begin{aligned}z+\bar z&=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\operatorname{Re}(z)\\z-\bar z&=(x+iy)-(x-iy)=2iy=2i\operatorname{Im}(z)\end{aligned}

Im Produkt heben sich auch die gemischten Terme auf. Das Ergebnis ist $reell und nichtnegativ$ , denn es ist die Summe zweier Quadrate:

\begin{aligned}z\bar z&=(x+iy)(x-iy)\\&=x^2-ixy+ixy-i^2y^2\\&=x^2+y^2=|z|^2\end{aligned}

Übung

Bestimme das Konjugierte der folgenden komplexen Zahlen. Zwei davon enthalten eine Potenz von $i$ oder eine Division durch $i$ , deshalb $vereinfachst du sie zuerst$ und liest das Konjugierte aus der vereinfachten Form ab.

$2+i^2$
$1+\frac{1}{i}$
$1+2i$

Ausführliche Lösungen

Die komplexe Zahl wird vereinfacht:

$z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1$ . Da $z=1$ eine reelle Zahl ist, lässt sie sich als $1+0i$ schreiben.

Ihr Konjugiertes ist daher $\bar{z} = 1$ .
Auch hier wird zuerst vereinfacht.

Dazu wird der Nenner mit $-i$ rationalisiert:

$\begin{aligned} \frac{1}{i} &= \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} \\ &= \frac{-i}{-i^2} \\ &= \frac{-i}{-(-1)} \\ &= \frac{-i}{1} \\ &= -i \end{aligned}$

Also ist $z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i$ .

Das Konjugierte lautet $\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i$ .
$z = 1+2i$ .

Nach dem $Vorzeichenwechsel im Imaginärteil$ gilt $\bar{z} = 1 - 2i$ .