Skalare Multiplikation komplexer Zahlen

Wie reelle Faktoren komplexe Vektoren verändern

Bei der Skalarmultiplikation wird eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl, dem Skalar, multipliziert.

Für einen Vektor ungleich null gelten folgende Fälle:

• Die Multiplikation von $z$ mit einem Skalar $c > 1$, etwa $2$, streckt den Vektor $z$ in derselben Richtung.
• Die Multiplikation von $z$ mit $0 < c < 1$ staucht den Vektor $z$ in derselben Richtung.
• Die Multiplikation von $z$ mit $c = 0$ verschiebt die Vektorspitze in den Ursprung, also gilt $0z = 0$.
• Für $z\neq0$ kehrt die Multiplikation mit einem Skalar $c < 0$, etwa $-0{,}5$, die Richtung des Vektors um $180^\circ$ um und multipliziert seine Länge mit $|c|$.

Der Skalar eins lässt den Vektor unverändert. Ein Skalar null oder die komplexe Zahl null ergibt den Nullvektor ohne Richtung.

Eine komplexe Zahl mit einem Skalar multiplizieren

Ist $z = x + iy$ eine komplexe Zahl und $c$ ein reeller Skalar, dann gilt:

Der gleiche Faktor für beide Komponenten, $c$, wird sowohl mit dem Realteil $x$ als auch mit dem Imaginärteil $y$ multipliziert.

Die Länge wird mit dem Absolutwert des Skalars multipliziert, nicht mit seinem vorzeichenbehafteten Wert. Das folgt aus der Betragsformel:

Komplexe Zahlen mit reellen Skalaren multiplizieren

Achte auf das Vorzeichen jeder Komponente. Im zweiten Beispiel wird ein negativer Skalar mit einem negativen Imaginärteil multipliziert. Der Imaginärteil des Produkts ist deshalb positiv.

Für $z = -3 + 4i$ und $c = 3$ ergibt sich:

Für $z = 5 - i$ und $c = -2$ ergibt sich:

Streckung Stauchung und Richtungswechsel in der komplexen Ebene

Ein reeller Skalar verändert die Länge des Pfeils und kann ihn zusätzlich umdrehen. Die folgenden Fälle trennen Streckung, Stauchung und Richtungswechsel, sodass Größe und Vorzeichen des Skalars jeweils klar erkennbar bleiben.

Skalar größer als eins

Ein positiver Skalar erhält die Richtung. Ein Wert größer als eins streckt den Vektor. Im gezeigten Beispiel werden beide Komponenten mit demselben Faktor multipliziert:

Skalar zwischen Null und Eins

Ein Skalar zwischen null und eins staucht den Vektor, ohne seine Richtung umzukehren. Beim Faktor drei Viertel bleibt jede Komponente bei drei Vierteln ihres Ausgangswerts:

Negativer Skalar

Die Multiplikation mit $-1$ ergibt die Gegenzahl der komplexen Zahl.