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Jeder Kreisbogen gehört zu einer Sehne, die seine beiden Endpunkte verbindet. Die Sehne ist die gerade Strecke zwischen den Endpunkten, der Bogen der gekrümmte Weg entlang des Kreisumfangs. Als Modell dient ein gespannter Bogen: Die Schnur entspricht der Sehne, das gebogene Holz dem Kreisbogen.
Bei kleinen Bögen desselben Kreises erzeugt ein größerer Mittelpunktswinkel sowohl einen längeren Bogen als auch eine längere Sehne. Der Zusammenhang ist jedoch nicht linear. Oberhalb von wird der große Bogen länger, während seine Sehne kürzer wird, denn dieselbe Sehne gehört auch zum ergänzenden kleinen Bogen.
Die Sehnenlänge kann mithilfe einer trigonometrischen Formel unter Einbeziehung des Mittelpunktswinkels und des Kreisradius berechnet werden:
Dabei gilt:
Die Formel bestimmt die Sehnenlänge aus Radius und Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens. Damit lässt sich die Geometrie eines idealisierten Rundfensters, Bogens oder einer anderen kreisförmigen Kontur festlegen. Bei einem realen Bauwerk müssen Lasten, Werkstoffe und Auflager getrennt untersucht werden.
Die Bogenhöhe, auch Sagitta genannt, ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt der Sehne zum Mittelpunkt des zugehörigen kleinen Kreisbogens. Zusammen mit der Sehne legt sie die Form eines idealisierten Kreisbogens fest.
Dabei gilt:
Betrachte die folgende Darstellung:
Im kartesischen Koordinatensystem kann ein Bogen durch parametrische Gleichungen dargestellt werden:
Dabei ist ein Parameter, der vom Anfangswinkel bis zum Endwinkel des Bogens variiert.
Betrachte den idealisierten kreisförmigen Querschnitt eines Bogens. Sein Radius beträgt , sein Mittelpunktswinkel . Wir können die von der Sehne dargestellte Spannweite und die von der Sagitta dargestellte Höhe bestimmen.
Berechnung der Sehnenlänge:
Bogenhöhe berechnen:
Ein idealisierter Kreisbogen hat einen Radius von und einen Mittelpunktswinkel von . Berechne seine Sehnenlänge und Bogenhöhe.
Bei einem idealisierten kreisförmigen Querschnitt einer Kuppel beträgt die Bogenhöhe und der Kreisradius . Bestimme den Mittelpunktswinkel des Bogens.
Ein kleiner Kreisbogen hat eine Sehnenlänge von und einen Radius von . Berechne seinen kleinen Mittelpunktswinkel und seine Bogenhöhe.
In einem Koordinatensystem beginnt ein Bogen am Punkt und endet am Punkt auf einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung. Bestimme eine übliche Parametrisierung des kleinen Bogens im Bogenmaß.
Lösung:
Gegeben: und
Sehnenlänge:
Bogenhöhe:
Lösung:
Gegeben: und
Schritt : Verwende die Bogenhöhenformel
Lösung:
Gegeben: und
Schritt : Verwende die Sehnenformel
Lösung:
Schritt : Stelle nach um
Schritt : Winkel berechnen
Schritt : Berechne den kleinen Mittelpunktswinkel
Schritt : Berechne die Bogenhöhe
Parametrische Gleichungen:
