Kreissektor

Ein Teil der Kreisscheibe zwischen zwei Radien

Ein Kreissektor ist der Teil einer Kreisscheibe, der von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt wird. Ein radial aus einer runden Torte geschnittenes Stück oder eine Orangenspalte hat annähernd diese Form.

Die beiden Radien bilden im Kreismittelpunkt einen Mittelpunktswinkel. Bei festem Radius bestimmt dieser Winkel, welchen Anteil der Kreisscheibe der Sektor einnimmt.

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sektorfläche

Bei festem Radius wächst die Sektorfläche proportional zum Mittelpunktswinkel. Teilt man eine volle Umdrehung in gleiche Winkel, wird auch die Kreisfläche in gleich große Teile zerlegt. Ein doppelt so großer Winkel gehört also zu einer doppelt so großen Sektorfläche.

Misst der Mittelpunktswinkel $\alpha$ Grad, dann beträgt der Flächenanteil des Sektors $\frac{\alpha}{360^\circ}$ der gesamten Kreisfläche.

Bei $90^\circ$ umfasst der Sektor ein Viertel der Kreisfläche, bei $180^\circ$ genau die Hälfte.

Berechnung der Sektorfläche

Ein Winkel von 60 Grad erfasst ein Sechstel der Kreisfläche. Berechne zuerst die gesamte Fläche aus dem Radius und multipliziere dann mit dem Winkelanteil. Lass Pi bis zum letzten Rechenschritt als Symbol stehen.

Ein Kreis habe den Radius $14 \text{ cm}$ und der Sektor den Mittelpunktswinkel $60^\circ$. Einsetzen liefert:

Die Sektorfläche beträgt exakt $\frac{98\pi}{3} \text{ cm}^2$, also ungefähr $102{,}63 \text{ cm}^2$.

Winkel und Flächenanteil vergleichen

Alle Zeichnungen verwenden denselben Radius. Deshalb kannst du die Flächen über die Mittelpunktswinkel vergleichen. Der Sektor mit 120 Grad hat die doppelte Fläche des Sektors mit 60 Grad. Der Sektor mit 270 Grad erfasst drei Viertel des Kreises und lässt ein Viertel übrig.

Übungsaufgaben

Aufgabe eins und drei fragen nach der Sektorfläche, Aufgabe zwei nach dem Mittelpunktswinkel. Die Winkel stehen bereits in Grad. Verwende deshalb ihren Anteil an 360 Grad, ohne sie ins Bogenmaß umzuwandeln.

1. Ein Kreis hat den Radius $21 \text{ cm}$. Bestimme die Fläche des Sektors mit $120^\circ$.

2. Ein Sektor hat in einem Kreis mit dem Radius $14 \text{ cm}$ die Fläche $49\pi \text{ cm}^2$. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?

3. Ein rundes Fladenbrot mit Durchmesser $28 \text{ cm}$ wird radial durch seinen Mittelpunkt in $8$ gleich große Sektoren geschnitten. Bestimme die Fläche eines Stücks.

Ausführliche Lösungen

Vergleiche Flächenanteil und Winkelanteil. Dividiere in Aufgabe zwei zuerst die Sektorfläche durch die gesamte Kreisfläche. Wandle bei Aufgabe drei den Durchmesser vor dem Quadrieren in den Radius um.

Lösung 1

Gegeben: $r = 21 \text{ cm}$, $\alpha = 120^\circ$

Lösung 2

Gegeben: Sektorfläche = $49\pi \text{ cm}^2$, $r = 14 \text{ cm}$

Lösung 3

Gegeben ist der Durchmesser $28 \text{ cm}$, also $r = 14 \text{ cm}$. Bei $8$ gleich großen radialen Sektoren beträgt der Mittelpunktswinkel jedes Stücks $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.