Jeder Kreisbogen gehört zu einer Sehne, die seine beiden Endpunkte verbindet. Die Sehne ist die gerade Strecke zwischen den Endpunkten, der Bogen der gekrümmte Weg entlang des Kreisumfangs. Als Modell dient ein gespannter Bogen: Die Schnur entspricht der Sehne, das gebogene Holz dem Kreisbogen.
Bei kleinen Bögen desselben Kreises erzeugt ein größerer Mittelpunktswinkel sowohl einen längeren Bogen als auch eine längere Sehne. Die . Oberhalb von wird der große Bogen länger, während seine Sehne kürzer wird, denn dieselbe Sehne gehört auch zum ergänzenden kleinen Bogen.
Sehnenlänge ist nicht proportional zur Bogenlänge
180∘
Beziehung zwischen Kreisbogen und Sehne
Vergleich von Bogen und Sehne bei verschiedenen Mittelpunktswinkeln.
Verbinde den Kreismittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Sehne. Diese Strecke teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. In jedem Teildreieck liegt dem halben Mittelpunktswinkel die halbe Sehne gegenüber:
sin(2θ)=rc/2⟹c=2rsin(2θ)
Die Variablen in dieser Formel bedeuten:
c = Sehnenlänge
r = Kreisradius
θ = Mittelpunktswinkel. Verwende am Taschenrechner den Gradmodus für Grad und den Radiantmodus für das Bogenmaß
Die Formel bestimmt die Sehnenlänge aus Radius und Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens. Damit lässt sich die Geometrie eines idealisierten Rundfensters, Bogens oder einer anderen kreisförmigen Kontur festlegen. Bei einem realen Bauwerk müssen Lasten, Werkstoffe und Auflager getrennt untersucht werden.
Die Bogenhöhe, auch Sagitta genannt, ist der Abstand vom Mittelpunkt der Sehne zum zugehörigen kleinen Kreisbogen, gemessen senkrecht zur Sehne. Zusammen mit der Sehne legt sie die Form eines idealisierten Kreisbogens fest.
Die Zeichnung verwendet einen kleinen Bogen mit 0<θ≤180∘. Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Sehnenmitte beträgt rcos(θ/2). Ziehe diesen Abstand vom Radius ab, um die Sagitta zu erhalten.
h=r−rcos(2θ)=r(1−cos(2θ))
Die Variablen in dieser Formel bedeuten:
h = Bogenhöhe (Sagitta)
r = Kreisradius
θ = Mittelpunktswinkel. Berechne den Kosinus in derselben Winkeleinheit wie θ
Die Abbildung markiert die Sehne, ihren Mittelpunkt und die senkrechte Strecke, deren Länge der Sagitta entspricht.
Sagitta eines Bogens mit 60 Grad
M halbiert die Sehne PQ. Der Radius abzüglich der Strecke OM ergibt die Sagitta.
Bei einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung beschreiben die folgenden parametrischen Gleichungen die Punkte eines Bogens. Der Parameter t misst den Winkel von der positiven horizontalen Achse gegen den Uhrzeigersinn.
x=rcos(t)
y=rsin(t)
Der Parameter t läuft vom Anfangs- zum Endwinkel. Im dargestellten Kreis mit Radius 3 ergeben sich beispielsweise die folgenden Punkte auf dem Bogen:
Ein idealisierter Kreisbogen hat den Radius 25 Meter und den Mittelpunktswinkel 120∘. Die Sehne gibt die Spannweite des Bogens an, die Sagitta seine Höhe.
Markiere die gegebenen Größen, bevor du eine Formel auswählst. Die ersten drei Aufgaben verwenden Sehnenlänge oder Sagitta. Die letzte Aufgabe fragt nach Koordinaten entlang eines Bogens.
Ein idealisierter Kreisbogen hat einen Radius von 30 m und einen Mittelpunktswinkel von 90∘. Berechne seine Sehnenlänge und Bogenhöhe.
Bei einem idealisierten kreisförmigen Querschnitt einer Kuppel beträgt die Bogenhöhe 8 m und der Kreisradius 15 m. Bestimme den Mittelpunktswinkel des Bogens.
Ein kleiner Kreisbogen hat eine Sehnenlänge von 24 m und einen Radius von 15 m. Berechne seinen kleinen Mittelpunktswinkel und seine Bogenhöhe.
In einem Koordinatensystem beginnt ein Bogen am Punkt (4,0) und endet am Punkt (0,4) auf einem Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung. Bestimme eine übliche Parametrisierung des kleinen Bogens im Bogenmaß.
Setze bei Sinus und Kosinus den halben Mittelpunktswinkel ein. Bei Aufgabe drei liefert das rechtwinklige Dreieck die exakte Höhe, ohne dass du zuerst den Winkel rundest.
Lösung 1
Gegeben: r=30 m und θ=90∘
Sehnenlänge:
c=2rsin(2θ)=2×30×sin(45∘)
c=60×22=302 m≈42,43 m
Bogenhöhe:
h=r(1−cos(2θ))=30(1−cos(45∘))
h=30(1−22)≈8,79 m
Lösung 2
Gegeben: h=8 m und r=15 m
Schritt 1: Verwende die Bogenhöhenformel
8=15(1−cos(2θ))
Schritt 2: Stelle nach cos um
158=1−cos(2θ)
cos(2θ)=1−158=157
Schritt 3: Winkel berechnen
2θ=arccos(157)≈62,18∘
θ≈124,36∘
Lösung 3
Gegeben: c=24 m und r=15 m
Schritt 1: Verwende die Sehnenformel
24=2×15×sin(2θ)
sin(2θ)=3024=0,8
Schritt 2: Berechne den kleinen Mittelpunktswinkel
