Kreissegmente

Die Fläche zwischen Sehne und Kreisbogen

Eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet, bildet eine Sehne. Die Sehne und einer der beiden Bögen zwischen ihren Endpunkten begrenzen ein Kreissegment. $Der kleine Bogen begrenzt das kleine Kreissegment$ , der verbleibende große Bogen das große Kreissegment. Ein Durchmesser ist der Grenzfall, in dem beide Segmente Halbkreise sind.

Unterschied zwischen Bogen und Segment

Ein Bogen ist eine $gekrümmte Linie$ , ein Kreissegment dagegen die Fläche zwischen Bogen und Sehne. Für die Bogenlänge verwendest du Längeneinheiten wie Zentimeter. Die Segmentfläche misst du in Flächeneinheiten wie Quadratzentimeter.

Kreisbogen

Ein Bogen ist eine gekrümmte Linie am Umfang eines Kreises, die zwei Punkte verbindet. Ein Bogen hat nur in einer Dimension eine Länge und keine Fläche.

Kreissegment

Ein Segment ist ein Bereich (Fläche) innerhalb eines Kreises, der durch einen Bogen und eine Sehne begrenzt wird. Ein Segment hat eine Fläche in zwei Dimensionen und kann mit Farbe gefüllt werden.

Kleines und großes Kreissegment

Wähle zuerst den $begrenzenden Bogen$ , bevor du das Segment einordnest. Ein kleiner Bogen begrenzt weniger als die halbe Kreisfläche. Der große Bogen begrenzt den Rest. Ist die Sehne ein Durchmesser, sind beide Flächen gleich groß.

Kleines Kreissegment (

\theta < 180^\circ

)

Bei einem Mittelpunktswinkel unter

180^\circ

ist das Segment kleiner als ein Halbkreis. Hier beträgt der Winkel

120^\circ

Großes Kreissegment (

\theta > 180^\circ

)

Bei einem Mittelpunktswinkel über

180^\circ

ist das Segment größer als ein Halbkreis. Hier beträgt der Winkel

240^\circ

Bei festem Radius unterscheidet der Mittelpunktswinkel die beiden Segmente:

$Kleines Segment$ : Mittelpunktswinkel $< 180^\circ$ , Segmentfläche $< \frac{1}{2}\pi r^2$
$Großes Segment$ : Mittelpunktswinkel $> 180^\circ$ , Segmentfläche $> \frac{1}{2}\pi r^2$

Segmentflächenformel

Das kleine Kreissegment entsteht, wenn wir die $Dreiecksfläche von der Sektorfläche abziehen$ .

Vergleiche Bogenlänge und Segmentfläche, bevor du die Formeln verwendest.

Größe	Formel	Einheitentyp
Bogenlänge	$s=\frac{\alpha}{360^\circ}\times 2\pi r$	Länge, zum Beispiel $\text{cm}$ oder $\text{m}$
Segmentfläche	$A_{\mathrm{Segment}}=A_{\mathrm{Sektor}}-A_{\mathrm{Dreieck}}$	Fläche, zum Beispiel $\text{cm}^2$ oder $\text{m}^2$

\begin{aligned} \text{Segmentfläche} &= \text{Sektorfläche} \\ &\quad{}- \text{Dreiecksfläche} \end{aligned}

Nach dem Einsetzen der beiden Flächenformeln gilt:

\begin{aligned} \text{Segmentfläche} &= \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &\quad{}- \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha \end{aligned}

Dabei ist $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ der kleine Mittelpunktswinkel in Grad und $r$ der Kreisradius.

Für ein großes Kreissegment verwenden wir zunächst den ergänzenden kleinen Winkel $\beta=360^\circ-\alpha$ und ziehen dann die kleine Segmentfläche von der gesamten Kreisfläche ab:

\beta=360^\circ-\alpha

Sektor Dreieck und Kreissegment

Im dargestellten Sektor mit 90 Grad verbindet die Sehne die Endpunkte zweier senkrechter Radien. Die $Fläche zwischen Bogen und Sehne$ bleibt übrig, wenn du das rechtwinklige Dreieck aus dem Sektor entfernst.

Sektorfläche minus Dreiecksfläche

Das Segment entsteht aus Sektor

AOB

minus Dreieck

AOB

. Der Mittelpunktswinkel beträgt

90^\circ

, der Radius

4 \text{ Einheiten}

Segmentflächenberechnung

Verwende dieselbe $Viertelkreisform$ wie in der Zeichnung, aber mit neuen Maßen: Mittelpunktswinkel $90^\circ$ und Radius $10\text{ cm}$ . Berechne Sektorfläche und Dreiecksfläche zunächst getrennt.

$Schritt 1$ : Sektorfläche berechnen

\text{Sektorfläche} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2

$Schritt 2$ : Dreiecksfläche berechnen

Für einen Winkel $90^\circ$ ist das gebildete Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem beide senkrechten Seiten Radien sind:

\text{Dreiecksfläche} = \frac{1}{2} \times r^2 \times \sin 90^\circ

$Schritt 3$ : Segmentfläche berechnen

\begin{aligned} \text{Segmentfläche} &= \text{Sektorfläche} \\ &\quad{}- \text{Dreiecksfläche} \end{aligned}

Übungen

Aufgabe eins fragt nach der $Segmentfläche$ , Aufgabe zwei nach dem Winkel zu einer Fläche. Aufgabe drei bestimmt den gefüllten Tankquerschnitt. Miss die Wassertiefe vom Boden aus, um den Abstand zwischen Oberfläche und Mittelpunkt zu finden.

Ein Kreis hat den Radius $7 \text{ cm}$ . Bestimme die Fläche des Segments zu einem Mittelpunktswinkel von $60^\circ$ .
Ein kleines Kreissegment hat in einem Kreis mit Radius $5 \text{ cm}$ eine Fläche von ungefähr $15{,}3546 \text{ cm}^2$ . Bestimme den zugehörigen kleinen Mittelpunktswinkel.
Ein liegender zylindrischer Tank mit Radius $2 \text{ m}$ ist vom Boden aus bis zu einer Höhe von $1{,}5 \text{ m}$ mit Wasser gefüllt. Bestimme die vom Wasser eingenommene Querschnittsfläche.

Ausführliche Lösungen

Berechne ein kleines Segment als $Sektor minus Dreieck$ . Ist die Fläche gegeben, suchst du den Winkel, der in der Formel diese Fläche liefert. Zeichne beim Tank zuerst die Sehne an der Wasseroberfläche.

$Lösung 1$

Gegeben: $r = 7 \text{ cm}$ , $\alpha = 60^\circ$

Sektorfläche berechnen:

\text{Sektorfläche} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2

Dreiecksfläche berechnen:

\text{Dreiecksfläche} = \frac{1}{2} r^2 \sin 60^\circ

Segmentfläche berechnen:

\text{Segmentfläche} = \frac{49\pi}{6} - \frac{49\sqrt{3}}{4}

$Lösung 2$

Gegeben: Segmentfläche $\approx 15{,}3546 \text{ cm}^2$ , $r = 5 \text{ cm}$

Verwendet wird: $\text{Segmentfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$

Bestimme den Winkel durch $Eingrenzen eines Intervalls$ . Die kleine Segmentfläche wächst mit dem Winkel. Einsetzen mit dem Taschenrechner im Gradmodus ergibt:

A(\alpha)=\frac{25\pi\alpha}{360^\circ}-\frac{25}{2}\sin\alpha

Versuchswinkel	Berechnete Fläche
$110^\circ$	$12{,}2521\text{ cm}^2$
$130^\circ$	$18{,}7860\text{ cm}^2$
$120^\circ$	$15{,}3546\text{ cm}^2$

Die gesuchte Fläche liegt zwischen den Ergebnissen für 110 und 130 Grad. Probiere die Intervallmitte von 120 Grad. Ihre Fläche stimmt bis zur vierten Nachkommastelle mit der Vorgabe überein:

\begin{aligned} \text{Sektorfläche} &= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 25 \\ &= \frac{25\pi}{3} \end{aligned}

Das stimmt nach dem Runden mit der angegebenen Fläche überein. Der Mittelpunktswinkel beträgt daher ungefähr $120^\circ$ .

$Lösung 3$

Im Tankquerschnitt bildet die $Wasseroberfläche eine Sehne$ . Der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche ist der Radius abzüglich der Wassertiefe:

d=r-h=2-1{,}5=0{,}5\text{ m}

Tankquerschnitt bei 1,5 Metern Wassertiefe

Waagerechte blaue Linien schraffieren das Wasser. Die Oberfläche liegt 0,5 Meter unter dem Mittelpunkt und 1,5 Meter über dem Boden.

Ziehe Radien zu beiden Endpunkten der Wasseroberfläche. Der halbe Sektorwinkel sei $\varphi$ . Das rechtwinklige Dreieck auf der rechten Seite ergibt:

\cos\varphi=\frac{d}{r}=\frac{0{,}5}{2}=0{,}25,\qquad \varphi=\arccos(0{,}25)\approx1{,}3181161\text{ rad}

Der Sektor mit vollem Winkel $2\varphi$ hat die Fläche $r^2\varphi$ . Die abzuziehende Dreiecksfläche ist die halbe Wasserbreite mal Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche:

A_{\triangle}=\frac{1}{2}\times(2\sqrt{3{,}75})\times0{,}5=0{,}5\sqrt{3{,}75}\text{ m}^2

Ziehe die beiden Flächen voneinander ab. Setze den Winkel $im Bogenmaß$ ein und runde erst das Endergebnis:

A=4\arccos(0{,}25)-0{,}5\sqrt{3{,}75}\approx5{,}2724643-0{,}9682458\approx4{,}3042\text{ m}^2